Здравствуйте, Верещака Андрей Павлович.
1-й способ:
выражаем y через x из уравнения xy=100 --> y=100/x, получаем
f=x+100/x (x>0)
f'=1-100/x²
производная меняет знак ровно один раз при x=10 с минуса на плюс
x=10 (y=10) - точка минимуму
Сам минимуи равен f(10,10)=20.

2-й способ (метод Лагранжа)
Составляем функцию Лагранжа L=x+y-[$955$](xy-100)
Пишем систему
L_x=0
L_y=0
xy=100
Имеем
1-[$955$]y=0
1-[$955$]x=0
xy=100
Решая систему, находим x=10, y=10, [$955$]=1/10

Исследуем на экстремум с помощью второго дифференциала
d²L=-[$955$]dxdy
Из уравнения связи xy=100 находим ydx+xdy=0. В точке x=y=10 имеем dx+dy=0, т.е. dy=-dx
Следовательно,
d²L=[$955$]dx²=(dx)²/10>0 (dx[$8800$]0)
Отсюда следует, что точка x=10,y=10 - точка минимума.