Здравствуйте, sereggg.
1. Дано:
y''-5y' +4y=0, (1)
y(0)=0, (2а)
y'(0)=1. (2b)
Найти:
y(x),
lim_x->∞y(x).
Решение.
Ищем общее решение уравнения в виде
y = C*exp(p*x), (3)
где C и p константы, подлежащие определению
Подстановка (3) в (1) дает уравнение относительно p:
p² – 5p + 4 = 0.
Откуда p1 = 4, p2 = 1. И общее решение имеет вид
у(x) = C1*exp(4x) + C2*exp(x). (4)
Подставляя (4) в (2а) и (2b) получаем систему линейных уравнений относительно С1 и С2.
С1 + С2 = 0
4С1 + С2 = 1.
Решая систему получаем
С1 = 1/3,
С2 = -1/3.
И соответственно решение уравнения
y = exp(x)(exp(3x) – 1)/3.
При x->∞ неограниченно возрастают как exp(x), так и (exp(3x)-1) => lim_x->∞y = ∞.
2. Исследовать сходимость ряда
∑_n=1^∞(7ⁿ+n³)/(10ⁿ +8).
Представим исходный ряд в виде суммы двух рядов
∑_n=1^∞7ⁿ/ (10ⁿ +8)+ ∑_n=1^∞n³)/(10ⁿ +8).
Для первого ряда справедлива оценка
∑_n=1^∞7ⁿ/ (10ⁿ +8) < ∑_n=1^∞7ⁿ/ 10ⁿ
Для исследования сходимости ряда
∑_n=1^∞7ⁿ/ 10ⁿ ,
применим признак Коши
lim_n->∞ⁿ√(7/10)ⁿ = 7/10 < 1
=> ряд ∑_n=1^∞7ⁿ/ (10ⁿ +8) сходится.
Для второго ряда справедлива аналогичная оценка
∑_n=1^∞n³)/(10ⁿ +8) < ∑_n=1^∞n³)/10ⁿ
и из признака Даламбера
lim_n->∞( n³10ⁿ/((n+1)³10ⁿ⁺¹)) =1/10 lim_n->∞( n/(n+1))³ = 1/10 < 1
заключаем, что ряд сходится. Следовательно исходный ряд сходится.