Вторая производная равна нулю не в вершинах и не просто в каких-то "левых" точках, а в точках перегиба. Вот между ними и находятся интервалы вогнутости (y''>0) и выпуклости (y''<0)

Сласти:
У Вас исходная функция написана с ошибкой. График ей не соответствует: видимо, -8 - это не свободный член, а множитель при x, о чем свидетельствует и формула первой производной.
В которой, кстати, есть ошибка (второе слагаемое должно быть 2x²), но это не повлияло на результат (м.б. Вы опять что-то не так написали?). Зато на формулу третьей производной, несомненно, повлияло.
Может быть, поэтому у Вас и получаются "левые" точки.
Но что абсциссы точек перегиба - это не абсциссы минимумов и максимумов исходной функции - это абсолютно верно. Они совпадут с абсциссами минимумов и максимумов первой производной, это да.
Приблизительно абсциссы точек перегиба -3 и 1/3 (и на взгляд, и в грубой прикидке)

1x²*²/8 + 2*x³/3 – x² – 8*x
x в 4 степени разделить на 8 + две трети x в 3 степени - x квадрат - восемь x
вот так вроде
А в произвоной во втором слагаемом и есть x квадрат - 3*x^2
Вот я и имела ввиду. Что экстремумы найденные по первой производной у меня не совпадают с точками найденными по второй производной. и вообще получается уравнение с 4мя корнями, причем Д не равен 0, и про корень -2 я узнала просто подставив его туда (во вторую производную), а через Д его не найти

При чем тут квадрат, он как раз на месте.
(2*x³/3)'= 2 * 3 * x²/3=2x²
Тройка уходит, она же умножается на 1/3. Двойка остается.

Вторую производную Вы находите по первой, в формуле которой у Вас ошибка.

Кстати, корни уравнения (я про первую производную), если не знаете, сколько их, проверяем графически. Это точки пересечения графика первой производной с осью ОХ, и их всего три. Дискриминант там не при чем: уравнение не квадратное.
Его преобразуем 1/2*x*(x² -4) + 2(x² -4)=0 и решаем, вынеся общий множитель. Далее один из множителей должен быть равен нулю. И все.

Уже понятней, нет?

Сласти:
Да! И корни решения уравнения (которое второй производной) и не могут совпасть с корнями уравнения (которое первой производной) - совпадают не корни, а абсциссы экстремумов первой производной с корнями второй (абсциссами перечения с осью ОХ). Это другие точки.

Анастасия Витальевна:
У Вас тоже в производной ошибка, Вы свободный член потеряли (посмотрите - исходная формула изменилась. Если Вы бы построили по ней, по прежней - по которой Вы считали - график, Вы бы увидели, что он не соответсвует совсем)

ТОчно. Блин. И уже никак видимо не исправить?

y'=(x^3)/2 + 2*x^2 - 2*x-8
х1=-4 X2=-2 x3=2 Это критические точки.

Находим промежутки монотонности, Для этого определим знаки производной.
На промежутке (-бескон;-4),(-2;2)функция убыввает, на промежутке (-4;-2)и на (2;+бесконеч) функция возрастает.
ТОчки являются точками экстремума, если меняет знак производная. х1=-4 x2=2 - точка минимума, -2 - точка максимума.

Найдем вторую производную.
Y''=1.5(x^2)+4x-2
y''=0 Следовательно, D=16+4*2*1.5=28
x1=[-4-sqrt(28)]/3=-3,1 x2=[-4+sqrt(28)]/3=0,4
Функция выпукла на (-бесконеч; -3,1) и на (0,4;+беск.) Функция вогнута на промежутке (-3.1;0.4)
И вроде с графиком похоже.

ТО есть, моя ошибка не влияет на вторую производную в принципе. А так исправилась! Вроде. Вот.