Здравствуйте, SKIF62.
y=e^x/x
Область определения: x∈R\{0} (так как делить на 0 нельзя)
Множество значений: y∈(-∞;0)∪[e;+∞) можно определить после нахождения I производной (функция убывает от (-∞;0) при этом y∈(-∞;0)
в области (0;+∞) функция выпукла вниз и пробегает значения от +∞ до локального минимума (е) и снова возрастает до +∞)

2) Ни четная, ни нечетная
f(-x)=e^-x/(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x)
не является периодической
3) f(x)=0
e^x / x = 0
x≠0
e^x=0
x∈∅ (нет таких значений x)
4) Функция непрерывна на (-∞;0) и непрерывна на (0; ∞)
Исследуем функцию в точке 0
lim_x->-0f(x)=e^x/x=(1/-0) = -∞
lim_x->+0f(x)=e^x/x=(1/+0)= +∞
точка x=0 - является точкой разрыва II рода так как пределы бесконечны

5) f'(x)=[e^x*x-e^x]/x² = e^x*[x-1]/x²
x≠0
f'(x)=0 x=1
x ∈ (-∞;0) f'(x)<0 - функция убывает
x∈ (0;1] f'(x)<0 - функция убывает
x∈[1;+∞) f'(x)>0 - функция возрастает
=> функция монотонно убывает на (-∞;0) и на (0;1]
функция монотонно возрастает на [1;+∞)
x=1 - точка локального экстремума(минимум) f(1)=e - локальный минимум

6) f''(x)=[(e^x*(x-1)+e^x)*x² - 2*x*e^x*(x-1) ]/x⁴
=e^x*(x³-2*x²+2*x)/x⁴=
=e^x*(x²-2*x+2)/x³
f''(x)=0
x²-2*x+2=0 - нет корней
x≠0
=>
x∈ (-∞;0) f''(x)<0 - функция выпукла вверх
x∈(0;+∞) f''(x)>0 - функция выпукла вниз
Асимптоты
горизонтальные
lim_x->-∞f(x) = (0/-∞) = 0 => y=0 - горизонтальная ассимптота при x->-∞
lim_x->+∞f(x) = (∞/∞) = (e^{x[/sub])' / (x)' = e[sup]x}=∞

Вертикальные асимптоты
x=0 (lim_x->+-0f(x)=+-∞)

Наклонных асимптот нет

Здравствуйте, SKIF62.
Простите , пожалуйста , очень долго писал решение . Нарисовал с графиками в документе docx .
Вот ссылка : https://rfpro.ru/upload/1071 .
С уважением .

Здравствуйте, SKIF62.
1)
Область определения D(y) = (-∞;0)U(0;+∞), область значений на E(y) = (-∞;0)U[e;+∞);
2)
Во-первых: вы несколько нерректно сформулировали 2-ой вопрос: четная или не четная функция, а не периодичность. Еще функция может быть ни четной ни нечетной, как вот эта, например (см. ниже);
Во-вторых: для справки - функция является периодической, если она повторяет свои значения через некоторый период Т, то есть f(x) = f(x+T), Т не равно 0;

Справка: функция f(x) является четной, если при замене в ней аргумента х на противоположный ему -х, она (функция) не меняет свой знак. То есть f(-x) = f(x). Если f(-x) = -f(x), то функция является нечетной. И на конец, если в результате замены аргумента функции на противоположный получили новую функцию, то есть f(-x) = g(x), то функция является ни четной ни ничетной. Четные функции (представленные как у=у(х)) симметричны относительно оси ординат (оси Оу), нечетные симметричны относительно начала отсчета.

y(x) = (e^x)/x, подставив вместо переменной х, противоположную ей -х получим: у(-х) = (е^(-x))/(-x) = -1/((e^x)*x) - то есть получили новую функцию. Поэтому y = (e^x)/x является ни четной ни нечетной.

3)
График ф-ции нигде не перисекает ось Ох, т.к. е^x>0 для всех х из области определения.
4)
Ф-ция, y = (e^x)/x непрерывна во всей своей области определения. Исследуем ее в окрестности тчк. 0: lim f(x-0) = lim f(x+0) = lim f(x) = f(x0), при х->x0 - условие непрерывности ф-ции в точке х = х0. Т. к. ф-ция в тчк. х = 0 неопределена, то имеем разрыв ф-ции в этой точке. Установим теперь его характер. В общем случае возможные варианты:
а) lim f(x-0) = lim f(х+0) - разрыв 1-го рода, устранимая точка разрыва;
б) lim f(x-0) не равен lim f(x+0), но при этом левый и правый пределы конечные числа - разрыв 1-го рода, скочок;
в) lim f(x-0) не равен lim f(x+0), один из пределов, либо оба сразу равны бесконечности - разрыв 2-го рода, скочок в бесконечность:).

Найдем левый и правый пределы: lim (e^x)/x = -∞ при х->0-0 - левый предел, lim (e^x)/x = +∞ - правый предел, lim (e^x)/x = 1 - имеем бесконечный скочок. Следовательно в точке 0 разрыв 2-го рода.

5)
Справка: Производная ф-ции в тчк. х0 равна тангенсу угла между касательной к графику ф-ции в тчк. х0 и осью Ох в положительном направлении - это геометрический смысл производной ф-ции. Если тангенс угла между касательной и осью Ох равен 0, то это означает, что касательная параллельна оси Ох (либо совпадает с ней). Непрерывная на некотором интервале ф-ция является либо не возрастающей, либо не убывающей, либо монотонно возрастающей, либо монотонно убывающей. Это означает, что тангенс угла между касательной в тчк. х0 и осью Ох, в тчк. х0+Δх поменяет свой знак, а это в свою очередь значит, что график прямой линии касательной будет в соответствии с ф-цией убывать, либо возрастать. Поэтому для того чтобы выяснить как ведет себя ф-ция на некотором интервале (a,b), нужно найти производную, затем вычислить в каких точках она равняется нулю на этом интервале (угол м-ду Ох и касательной равен нулю, tg0 = 0, т.н. точка экстремума), и вычислить какой знак имеет производная "до" точки экстремума и "после" (то есть если в x1 y'(x1) = 0, вычисляем y'(x2) a<x2<x1 и y'(x3) x1<x3<b). Если знак производной "до" точки х0 отрицательный, то это значит, что тангенс угла наклона отрицательный, следовательно угол м-ду касательной и осью Ох принадлежит интервалу (-п/2;0), то есть угол получается тупым - ф-ция убывает. Если угол острый, принадлежит интервалу (0;п/2), то тангенс положительный и ф-ция возрастает. Короче, смысл нахождения нулей производной (экстремумов ф-ции) состоит в том чтобы выяснить как ведет себя ф-ция в окрестности точки экстремума (нуля производной) - убывает, возрастает... Написано много, но гораздо нагляднее все это, в общем, демонстрирует чертеж.

Найдем производную ф-ции y = (e^x)/x:
y' = (e^x)'/x +(e^x)(1/x)' = [как производная произведения] = (e^x)/x - (e^x)/(-1/(x^2)) = (e^x)(1/x -1(x^2)) = 0 ~ x-1 = 0... точка экстремума х = 1. Теперь выясним поведение ф-ции в окрестности точки х = 1. Если взять 0<х<1 (из обл-ти определения), то видно, что производная принимает отрицательные значения, то есть угол м-ду касательной и графиком ф-ции тупой, следовательно ф-ция убывает. Если взять х>1, то производная будет положительной для всех таких точек - угол острый, ф-ция возрастает. Отсюда видно, что на интервале (0;+∞) точка х = 1 является точкой минимума ф-ции у = (e^x)/x.

.... все пока что, я спать, если не будет ответов на 5-6, завтра на мини-форуме допишу ;)