Здравствуйте, Кусмарцев Андрей Валерьевич.

Дана последовательность x_n = (2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹)/(2ⁿ + 3ⁿ). Необходимо найти предел a этой последовательности при n → ∞, а также N(ε) при ε = 0,1 и ε = 0,01 и выполнить проверку.

Имеем
2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹ = 2 ∙ 2ⁿ + 3 ∙ 3ⁿ = 2 ∙ (2ⁿ + 3/2 ∙ 3ⁿ),
(2ⁿ + 3/2 ∙ 3ⁿ)/(2ⁿ + 3ⁿ) = 1 + 1/2 ∙ 3ⁿ/(2ⁿ + 3ⁿ) = 1 + 1/2 ∙ 1/((2ⁿ + 3ⁿ)/3ⁿ) = 1 + 1/2 ∙ 1/(1 + (2/3)ⁿ),
следовательно, при n → ∞
(2/3)ⁿ → 0,
x_n = (2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹)/(2ⁿ + 3ⁿ) = 2 ∙ (1 + 1/2 ∙ 1/(1 + (2/3)ⁿ)) = 2 ∙ (1 + 1/2) → 3,
то есть
a = lim _{n → ∞} x_n = 3.

Находим зависимость N(ε), воспользовавшись определением предела последовательности:
|x_n – a| = 3 – (2 + 1/(1 + (2/3)ⁿ) = 1 – 1/(1 + (2/3)ⁿ) < ε,
1 – 1/(1 + (2/3)ⁿ) < ε,
1/(1 + (2/3)ⁿ) > 1 – ε,
1 + (2/3)ⁿ < 1/(1 – ε),
(2/3)ⁿ < 1/(1 – ε) – 1 = (1 – (1 – ε))/(1 – ε) = ε/(1 – ε),
(3/2)ⁿ > (1 – ε)/ε. (1)

Из выражения (1) при помощи простой подстановки находим следующее:
1) при ε = 0,1
(3/2)ⁿ > (1 – 0,1)/0,1 = 9,
n ∙ ln (3/2) > ln 9,
0,4055n > 2,1972,
n > 5,4,
то есть начиная с x₆ выполняется соотношение |x_n – 3| < 0,1;
2) при ε = 0,01
(3/2)ⁿ > (1 – 0,01)/0,01 = 99,
n ∙ ln (3/2) > ln 99,
0,4055n > 4,5951,
n > 11,3,
то есть начиная с x₁₂ выполняется соотношение |x_n – 3| < 0,01.

Для проверки достаточно вычислить соответствующие члены последовательности, используя, например, электронную таблицу MS Excel:
n x_n
1 2,6
2 2,692308
3 2,771429
4 2,835052
5 2,883636
6 2,919294
7 2,944708
8 2,962447
9 2,974647
10 2,982954
11 2,988571
12 2,992352

С уважением.