Здравствуйте, Sergey Sol3.

1. Рассмотрим качение цилиндра вверх (рисунок).



Свяжем инерциальную систему отсчета с поверхностью Земли. Начало координат O выберем в точке, совпадающей с центром масс цилиндра, ось абсцисс направим параллельно наклонной плоскости в сторону движения цилиндра в сторону его движения, ось ординат – параллельно ей, ось аппликат – перпендикулярно к плоскости рисунка.

На движущийся цилиндр в выбранной системе отсчета действует сила тяжести mg, сила N нормальной реакции наклонной плоскости и сила F[sub]тр[/sub] трения качения.

Закон поступательного движения центра масс цилиндра имеет вид
ma = mg + F[sub]тр[/sub] + N, (1)
а закон вращательного движения цилиндра относительно оси, проходящей через начало координат, иммет вид
M_O(F[sub]тр[/sub]) + M_O(mg) + M_O(N) = Jε. (2)

Проецируя уравнение (1) на оси абсцисс и ординат, а уравнение (2) – на ось аппликат, получаем систему уравнений
ma = mg ∙ sin α – F_тр, (3)
0 = N – mg ∙ cos α, (4)
F_трR = Jε. (5)

С учетом того, что F_тр = μN/R, J = mR²/2, ε = a/R, из выражений (3) – (5) получаем
F_тр = Jε/R = mεR²/(2R) = mεR/2,
mεR/2 = μN/R,
μ/R = mεR/(2N) = mεR/(2mg ∙ cos α) = εR/(2g ∙ cos α) = a/(2g ∙ cos α),
ma = mg ∙ sin α – μmg ∙ cos α /R,
a = g(sin α – μ ∙ cos α/R) = g(sin α – a ∙ cos α /(2g ∙ cos α)) = g(sin α – a/(2g)) = g ∙ sin α – a/2,
a + a/2 = g ∙ sin α,
3a/2 = g ∙ sin α,
a = (2g ∙ sin α)/3 (6) – ускорение центра масс катящегося цилиндра.

Перемещение центра масс цилиндра вдоль наклонной плоскости равно
s = vt – at²/2 = v²/a – a(v/a)²/2 = v²/a – v²/(2a) = v²/(2a),
или, с учетом выражения (6),
s = v² : (4g ∙ sin α)/3 = 3v²/(4g ∙ sin α),
h/sin α = 3v²/(4g ∙ sin α),
h = 3v²/(4g),
откуда после подстановки числовых значений величин получаем
h ≈ 3 ∙ 3²/(4 ∙ 9,81) ≈ 0,69 (м).

Пусть теперь цилиндр скатывается обратно по наклонной плоскости. В этом положении он обладает потенциальной энергией
W_п = mgh = 3mgv²/(4g) = 3mv²/4, (7)
а в конечном положении цилиндр обладает нулевой потенциальной энергией и кинетической энергией, равной сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:
W_к = mV²/2 + Jω²/2 = mV²/2 + mR²/2 ∙ V²/(2R²) = 3mV²/4. (8)

Приравнивая выражения (7) и (8), устанавливаем, что V = v = 3 м/с.

Ответ: 0,69 м; 3 м/с.

С уважением.

Здравствуйте, Sergey Sol3.
1.
Дано:
v =3 м/с
[$945$]=20[$186$]
Найти:
h, v`
Решение:
Из закона сохранения энергии

Eп=Е_{к пост} + Е_{к вращ}

mgh=mv²/2 + J[$969$]²/2 ; J=mR²/2 - момент инерции; [$969$]=v/R - угловая скорость.

Тогда

h= 3v²/4g = 67,5 см (без учета трения)

Опять же, если не учитывать трения, то скорость v` в конце спуска будет равна скорости v

2.
Дано:
R=0.2 м
F=98.1 H
M=5H*м
е=100 с^-1
Найти: m
Решение:
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения
FR-M=Je
где J=mR²/2 - момент инерции диска
Тогда
m=2(FR-M)/eR² ~ 7.3 кг
Вроде так

Удачи