Здравствуйте, Александр ).

1. Обруч представляет собой физический маятник, а период его колебаний можно найти по формуле
T = 2π√(J/(mgl)), (1)
где J – момент инерции обруча относительно оси качания, m – масса обруча, l = D/2 – расстояние от центра масс обруча до оси качания.

Момент инерции обруча относительно оси качания, согласно теореме Гюйгенса – Штайнера, равен
J = mD²/4 + ml² = mD²/4 + mD²/4 = mD²/2. (2)

Из выражений (1) и (2) получаем
T = 2π√(mD²/(2mgD/2)) = 2π√(D/g),
что после подстановки числовых значений дает
T = 2 ∙ 3,14 ∙ √(0,565/9,81) ≈ 1,5 (с).

Ответ: 1,5 с.

2. В приведенных Вами обозначениях уравнение плоской волны имеет вид
q = A ∙ cos (ωt – ωx/v), (1)
где A – амплитуда колебаний (смещений) частиц среды; x – расстояние от источника колебаний до частицы в направлении распространения волны; v – скорость распространения волны.

Согласно условию, A = 60 мкм = 6,0 ∙ 10^-5 м. Сопоставляя формулу (1) с заданным уравнением, устанавливаем, что ω = 1800 с^-1, ω/v = 5,3 м^-1, откуда v = ω/5,3.

Между скоростью распространения волны и длиной λ волны существует соотношение v = λω/(2π), откуда в нашем случае получаем
λ = 2πv/ω = 2πω/(5,3ω) = 2π/5,3,
A/λ = 6,0 ∙ 10^-5/(2π/5,3) = 5,3 ∙ 6,0 ∙ 10^-5/(2π) ≈ 5,1 ∙ 10^-5.

Дифференцируя по переменной t – времени – выражение (1), получаем выражение для скорости частиц среды:
dq/dt = -6,0 ∙ 10^-5 ∙ 1800 ∙ (1800t – 5,3x) = -0,108(1800t – 5,3x),
следовательно, амплитуда колебаний скорости частиц среды равна A_u = u_max = 0,108 (м/с), и
u_max/v = 0,108/(ω/5,3) = 5,3 ∙ 0,108/1800 ≈ 3,2 ∙ 10^-4.

Ответ: 1) 5,1 ∙ 10^-5; 2) 0,108 м/с и 3,2 ∙ 10^-4.

3. Согласно определению, энергия покоя частицы равна
E₀ = m₀c², (1)
где m₀ – масса покоя частицы, c – скорость света в вакууме.

Кинетическая энергия частицы равна
E_к = m₀c²|1/√(1 – v²/c²) – 1|. (2)

Приравнивая выражения (1) и (2), получаем
m₀c² = m₀c²|1/√(1 – v²/c²) – 1|,
1 = 1/√(1 – v²/c²) – 1,
1/√(1 – v²/c²) = 2,
√(1 – v²/c²) = 1/2,
1 – v²/c² = 1/4,
c² – v² = c²/4,
v² = c² – c²/4,
v² = 3c²/4,
v = c√(3/4) ≈ 3,0 ∙ 10⁸ ∙ √(3/4) ≈ 2,6 ∙ 10⁸ (м/с).

Ответ: 2,6 ∙ 10⁸ м/с.

В принципе для решения этих задач достаточно знаний в объеме школьного курса физики. Вам следует подтянуться, потому что дальше будет еще труднее.

С уважением.