Здравствуйте, Мария Романова.

Числовой ряд имеет вид:

[$8721$] {n = 1 ... [$8734$]} 1 / [ (n + 1)*ln²(n + 1) ]

Этот ряд является рядом с положительными членами

Пусть:

f(x) = 1 / [ (x + 1)*ln²(x + 1) ]

При х>0 ln(x + 1)>ln(1)=e, то есть функция f(x) неотрицательная при x > 0. Также:

f'(x) = { 1 / [ (x + 1)*ln²(x + 1) ] }' = - { 1 / [ (x + 1)*ln²(x + 1) ]² } * { (x + 1)*ln²(x + 1) }' =

= - { 1 / [ (x + 1)²*ln⁴(x + 1) ] } * { ln²(x + 1) + (x + 1) * 2 * ln(x + 1) * [1/(x + 1)] } =

= - { ln(x + 1) + 2 } / { (x + 1)²*ln³(x + 1) ] }

При x>0 f'(x)<0, то есть функция f(x) убывающая

Значит, можно применить интегральный признак Коши для определения сходимости ряда. Тогда исходный ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом:

[$8747$]₁^[$8734$] f(x) dx

Проверяем сходимость несобственного интеграла

[$8747$]₁^[$8734$] f(x) dx = [$8747$]₁^[$8734$] dx / [ (x + 1)*ln²(x + 1) ] = lim {A -> [$8734$]} [$8747$]₁^A dx / [ (x + 1)*ln²(x + 1) ] =

= /// вносим ln(x + 1) под знак дифференциала: d(ln(x + 1)) = [ln(x + 1)]'*dx = dx/(x + 1) /// =

= lim {A -> [$8734$]} [$8747$]₁^A d(ln(x + 1)) / ln²(x + 1) = lim {A -> [$8734$]} (- 1) / ln(x + 1) | ₁^A =

= lim {A -> [$8734$]} [ - {1 / ln(A + 1)} + {1 / ln(2)} ] = 1 / ln(2)

То есть несобственный интеграл сходится.

Следовательно, сходится и ряд, согласно интегральному признаку Коши

Здравствуйте, Мария Романова!

Данный ряд сходится по интегральному признаку Коши.