Здравствуйте, gvghvh.
Решаем систему через определители по формулам крамера.
Система из 4-х уравнений с 4-я неизвестными, значит можно)
Составляем первыый определитель из коэффициентов при неизвестном.
http://i047.radikal.ru/0909/17/c77a1ac4f6d3.jpg - вот здесь

Теперь составим второй определитель заменив столбец, составленный из коэфициентов при x1, свободными членами. Посчитав его значение потом можно будет найти x1.
http://i073.radikal.ru/0909/26/c582e4e9c9b8.jpg

Аналогично для второго, третьего и четвёртого столбца, чтобы найти x2, x3 и x4 соответственно.
http://i040.radikal.ru/0909/74/86167cac24f6.jpg

А теперь формулы Крамера
http://i059.radikal.ru/0909/c3/3778e12f91cd.jpg

Ответы получились «некрасивые», поэтому вероятность моей ошибки вероятна)
Удачи!

Здравствуйте, gvghvh.
Насколько я понимаю, задача все-таки состоит в решении приведенной здесь системы методом Крамера, а не просто в вычислении определителей.

Определитель системы:
[$916$]=
|1 3 5 7|
|3 5 7 1|
|5 7 1 3|
|7 1 3 5|
={из 2-го и 3-го столбца вычитаем первый}
|1 2 4 7|
|3 2 4 1|
|5 2 -4 3|
|7 -6 -4 5|
={из 2-й строки вычитаем 1-ю}
|1 2 4 7|
|2 0 0 -6|
|5 2 -4 3|
|7 -6 -4 5|
={к 4-му столбцу прибавляем 1-ый, умноженный на 3}
|1 2 4 10|
|2 0 0 0|
|5 2 -4 18|
|7 -6 -4 26|
=
-2*
|2 4 10|
|2 -4 18|
|-6 -4 26|
=
-16*
|1 2 5|
|1 -2 9|
|-3 -2 13|
={прибавляем ко второй и третьей строке первую}
-16*
|1 2 5|
|2 0 14|
|-2 0 18|
=
32*
|2 14|
|-2 18|
=32*(2*18+2*14) = 2048

Т.е. [$916$] = 2048.

Определитель при x₁
[$916$]_x1=
|12 3 5 7|
|0 5 7 1|
|0 7 1 3|
|16 1 3 5|
=
4*
|3 3 5 7|
|0 5 7 1|
|0 7 1 3|
|4 1 3 5|
={первую строку умножим на 4, вторую - на 3}
(1/3)*
|12 12 20 28|
|0 5 7 1|
|0 7 1 3|
|12 3 9 15|
={вычитаем из 4-й строки 1-ю и после этого 1-ю делим на 4}
(4/3)*
|3 3 5 7|
|0 5 7 1|
|0 7 1 3|
|0 -9 -11 -13|
=
-4*
|5 7 1|
|7 1 3|
|9 11 13|
={вычитаем из 3-ей строки 2-ю, а затем из 2-й 1-ю}
-4*
|5 7 1|
|2 -6 2|
|2 10 10|
=
-16*
|5 7 1|
|1 -3 1|
|1 5 5|
={вычитаем из 2-го и 3-го столбца 1-ый, умноженный на 5}
-16*
|5 -18 -24|
|1 -8 -4|
|1 0 0|
=
-16*
|-18 -24|
|-8 -4|
=
-16*
|18 24|
|8 4|
-16*(18*4-8*24)=1920.

[$916$]_x1 = 1920.

Определитель при x₂
[$916$]_x2=
|1 12 5 7|
|3 0 7 1|
|5 0 1 3|
|7 16 3 5|
=
4*
|1 3 5 7|
|3 0 7 1|
|5 0 1 3|
|7 4 3 5|
={поступаем как и в предыдущем случае}
(4/3)*
|1 3 5 7|
|3 0 7 1|
|5 0 1 3|
|17 0 -11 -13|
=
-4*
|3 7 1|
|5 1 3|
|17 -11 -13|
={из 1-го и 3-го столбцов вычитаем 2-й, умноженный на 7 и -11 соответственно}
-4*
|-32 0 -20|
|5 1 3|
|72 0 20|
=
-4*
|-32 -20|
|72 20|
=-3200.

[$916$]_x2=-3200.

Определитель при x₃
[$916$]_x3=
|1 3 12 7|
|3 5 0 1|
|5 7 0 3|
|7 1 16 5|
={поступаем как и в предыдущем случае}
(4/3)*
|1 3 3 7|
|3 5 0 1|
|5 7 0 3|
|17 -9 0 -13|
=
4*
|3 5 1|
|5 7 3|
|17 -9 -13|
={вычитаем из 2-й и 3-й строки 1-ю, умноженную на 3 и -13 соответственно}
4*
|3 5 1|
|-4 -8 0|
|56 56 0|
=
4*
|-4 -8|
|56 56|
=896.

[$916$]_x3 = 896.

Аналогично
Определитель при x₄
[$916$]_x4=
|1 3 5 12|
|3 5 7 0|
|5 7 1 0|
|7 1 3 16|
=
(4/3)*
|1 3 5 3|
|3 5 7 0|
|5 7 1 0|
|17 -9 -11 0|
=
-4*
|3 5 7|
|5 7 1|
|17 -9 -11|
={из 1-го и 3-го столбцов вычитаем 2-й, умноженный на 7 и -11 соответственно}
-4*
|-32 -44 0|
|5 7 1|
|72 68 0|
=
4*
|-32 -44|
|72 68|
=3968.

[$916$]_x4=3968.

Согласно методу Крамера
x1=[$916$]_x1/[$916$] = 1920/2048=15/16
x2=[$916$]_x2/[$916$] = -3200/2048=-25/16
x3=[$916$]_x3/[$916$] = 896/2048=7/16
x4=[$916$]_x4/[$916$] = 3968/2048=31/16.