Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 172294
18.09.2009, 11:04
0.00 руб.
0 7 1
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты.
У меня несколько простых вопросов по математике из курса средней школы:

1. Каким образом раскладывается многочлен (не понятно, по какому правилу)
(x3 + x2 - 2 = (x - 1)(x2 + x + 2)

2. Касательная и нормаль:
коэффициент касательной: k1 = f'(x0)
нормали: k2 = (-1)/(f'[x0]
k1 * k[sub]2/sub] = -1
Поправьте, если что не так.

Спасибо.

Обсуждение

Неизвестный
18.09.2009, 13:02
общий
Иванов Андрей Владимирович:
в п.1 что является исходником?
Неизвестный
18.09.2009, 13:12
общий
1. Корень x = 1 находится подбором, затем делим "уголком" x^3 + x^2 - 2 на x - 1.
Или по схеме Горнера.
Неизвестный
18.09.2009, 13:18
общий
вопрос снят)
Неизвестный
18.09.2009, 14:45
общий
Иванов Андрей Владимирович:
1. Как верно заметила эксперт Вера Агеева, для разложения многочлена сначала находят подбором один корень, и затем многочлен "делят" на этот корень.

В случае когда коэффициенты многочлена представляют целые числа, то корень многочлена кратен свободному члену с точностью до знака (для нецелых чисел корень пропорционален свободному члену, но этот коэффициент пропорциональности не обязательно целое число). В данном случае свободный член равен (-2), значит корень может быть равен [$177$]1 и [$177$]2, эти варианты и перебираются подбором.

Далее многочлен "делится" на корень, на подобие деления чисел в "уголком". В примере нашли один корень, это х1 = 1, поэтому делим многочлен на (х - х1) = (х - 1). Так как многочлен третьей степени, то значит выражение (х - 1) надо умножить на х2, чтобы третья степень сократилась, получиться (х3 - х2), вычитаем это выражение из исходного многочлена, получим:

х3 + х2 - 2 - (х3 - х2) = 2х2 - 2

Полученный многочлен опять же делим на (х - 1), так получили многочлен второй степени и первый коэф. равен 2, то домножаем (х - 1) на 2х, чтобы сократилась вторая степень, то есть получиться (2х2 - 2х), вычитаем это из имеющегося многочлена, получим:

2х2 - 2 - (2х2 - 2х) = 2х - 2

Этот многочлен надо опять же поделить на (х - 1), но здесь проще, и видно сразу, что это 2

Собирая коэффициенты (выделенные зеленым), получим многочлен х2 + 2х + 2

Значит: х3 + х2 - 2 = (х - 1)(х2 + 2х + 2)

Ответ не совпадает с вашим, так как разложение вы взяли, очевидно, из вопроса 172084, но вы немного опечатались, так как там:

х3 + х - 2 = (х - 1)(х2 + х + 2) (что является правильным)

а здесь вы привели х3 + х2 - 2 = (х - 1)(х2 + х + 2)


2. В этом вопросе все верно, коэффициент касательной равен k1 = f'(x0) и коэффициент нормали равен k2 = (-1)/(f'[x0])
И правомерно выражение k1 * k2 = -1
Неизвестный
18.09.2009, 16:48
общий
Спасибо за ответы. Впервые столкнулся с разложением многочлена путем деления.
Неизвестный
18.09.2009, 17:11
общий
Иванов Андрей Владимирович:
Замечу, что данный многочлен можно разложить на множитель и "в лоб", не прибегая к поиску корня и делению:
x3+x2-2 = (x3-1)+(x2-1)=(x-1)(x2+x+1)+(x-1)(x+1) = (x-1)(x2+x+1+x+1) = (x-1)(x2+2x+2)
Неизвестный
18.09.2009, 19:47
общий
это ответ
Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.
1. Существует по крайней мере 2 способа разложения.
a) способ дополнения.
Он заключается в необходимом расширении выражения:
x3+x2-2 = x3-x2+2*x2-2 = x2*(x-1)+2*(x2-1) =
x2*(x-1)+2*(x+1)*(x-1) = (x-1)*(x2+2*(x+1)) = (x-1)*(x2+2*x+2).

Обратите внимание, что ответ отличен от приведенного в условии.


b) Путем решения уравнений.
Рациональный корень уравнения x3+x2-2 = 0 ищем среди делителей числа 2 (как положительных, так и отрицательных) - см. приложение. Т.е. среди чисел [$177$]1, [$177$]2.
Методом подбора находим, что x = 1 - корень уравнения.

Делим многочлен x3+x2-2 на двучлен x-1 (о делении многочленов см. приложение), получаем в частном
x2+2*x+2.

Таким обрразом,
x3+x2-2 = (x-1)*(x2+2*x+2).

2. Обратимся к теории.
Как известно, угловой коэффициент касательной к кривой y = f(x) равен производной f'(x) в точке касания x=x0, т.е. k1 = f'(x0) (при условии, конечно, что f(x) дифференцируема в точке x=x0).

Далее, угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс. Обозначим этот угол [$945$]. Т.е. tg[$945$] = k1.

Далее, нормаль всегда перпендикулярна касательной, проведенной в той же точке.
Т.е. если [$946$] - угол между нормалью и осью абсцисс, то угловой коэффициент нормали k2=tg[$946$] и модуль разности |[$945$]-[$946$]|=90[$186$].

Таким образом, возможны два случая:
[$945$]-[$946$]=90[$186$] (1)
и
[$946$]-[$945$]=90[$186$]. (2)

Разбермся по-порядку.
Из уравнения (1) следует:
tg([$945$]-[$946$]) = tg90[$186$]
(tg[$945$] - tg[$946$])/(1+tg[$945$] * tg[$946$]) = [$8734$]
(k1-k2)/(1+k1*k2) = [$8734$]

Это справедливо, когда знаменатель равен 0 (в противном случае левая часть всегда получается конечной). Т.е.
1+k1*k2=0 (3)
или
k1*k2=-1. (4)

Аналогично доказывается, что равенство (2) также сводится к (4).

В частности, если k1 = 0 (уравнение касательной в этом случае имеет вид y = a), то k2 = -1/0 = [$8734$] и уравнения нормали имеет в этом случае вид x=b (a и b - константы, зависящие от конкретной точки, к которой проводятся нормаль и касательная: a - ордината этой точки, b - ее абсцисса).

[i][b]Т.е. ваши утверждения в целом правильные. Еднственное что, существуют частные случаи, которые требуют отдельного рассмотрения (на 0, все таки делить нельзя). Здесь эти случаи рассмотрены.[/b][/i]

Приложение:
Поиск рациональных корней уравнения:
http://festival.1september.ru/articles/410209/
(последняя теорема раздела "Определения").

Деление многочленов:
http://www.math.msu.su/dop/school/polynoms/theory1.htm
Форма ответа