Здравствуйте, Ushastik1985.

1-ая Задача

1. График исходной функции:

2. Пусть f₀(t) - это функция, задаваемая системой:
f₀(t) = 0 при t < 0 и t > 2
f₀(t) = t при 0 <= t <= 1
f₀(t) = 2 - t при 1 < t <= 2

То есть функция f₀(t) определяет один первый (левый) "зуб" на графике

Представим функцию f₀(t) в виде суммы функций:

f₀(t) = f₁(t) + f₂(t) + f₃(t)

Первая функция f₁(t) = t при t >= 0
Изображение данной функции имеет вид:
f₁(t) = t -> 1/p²

Вторая функция f₂(t) получена сдвигом функции {g₂(t) = - 2t при t >= 0} на одну единицу вправо, так как при t > 1:
f₁(t) + f₂(t) = f₁(t) + g₂(t - 1) = t - 2*(t - 1) = 2 - t
и f₂(t) = 0 при t < 1
Так как изображение функции g₂(t) имеет вид:
g₂(t) = - 2t -> - 2/p²,
то по теореме запаздывания:
f₂(t) = g₂(t - 1) -> - (2/p²)*e^-1*p = - (2*e^-p)/p²

Третья функция f₃(t) получена сдвигом функции {g₃(t) = t при t >= 0} на две единицы вправо, так как при t > 2:
f₁(t) + f₂(t) + f₂(t) = 2 - t + g₃(t - 2) = 2 - t + (t - 2) = 0
и f₃(t) = 0 при t < 2
Так как изображение функции g₃(t) имеет вид:
g₃(t) = t -> 1/p²,
то по теореме запаздывания:
f₃(t) = g₃(t - 2) -> (1/p²)*e^-2*p = e^-2p/p²

Итак изображение функции f₀(t):

f₀(t) = f₁(t) + f₂(t) + f₃(t) -> 1/p² - (2*e^-p)/p² + e^-2p/p² = (1 - 2*e^-p + e^-2p)/p² = (1 - e^-p)²/p²

3. Тогда исходная периодическая функция представима в виде:

f(t) = f₀(t) + f₀(t - 2) + f₀(t - 4) + f₀(t - 6) + f₀(t - 8) + ....

так как период T = 2

По теореме запаздывания получим:

f(t) = f₀(t) + f₀(t - 2) + f₀(t - 4) + f₀(t - 6) + f₀(t - 8) + .... ->

-> {(1 - e^-p)²/p²} + {(1 - e^-p)²/p²}*e^-2p + {(1 - e^-p)²/p²}*e^-4p + {(1 - e^-p)²/p²}*e^-6p + ... =

= {(1 - e^-p)²/p²}*{1 + e^-2p + e^-4p + e^-6p + e^-8p + ...} = {(1 - e^-p)²/p²}*[$8721$]{n=1...[$8734$]}e^(-2p)*n =

= {(1 - e^-p)²/p²}*{1/(1 - e^-2p)} = {1 - e^-p} / {p²*(1 + e^-p)}

Итак:

f(t) -> {1 - e^-p} / {p²*(1 + e^-p)}


2-ая Задача

1. Находим интервал сходимости ряда, используя признак Д'Аламбера

Формула общего члена ряда:

a_n = nxⁿ / (2n+1)

Тогда:

a_n+1 = ((n+1)*xⁿ⁺¹) / (2(n+1)+1) = ((n+1)*xⁿ*x) / (2n+3)

lim{n->[$8734$]} |a_n+1/a_n| = lim{n->[$8734$]} |[(n+1)*x*(2n+1)] / [n*(2n+3)]| = |x|*lim{n->[$8734$]} [(n+1)*(2n+1)] / [n*(2n+3)] =

= |x|*lim{n->[$8734$]} [(n+1)*(2n+1):n²] / [n*(2n+3):n²] = |x|*lim{n->[$8734$]} [(1 + 1/n)*(2 + 1/n)] / [1*(2 + 3/n)] =

= |x|*(1*2)/(1*2) = |x|

По признаку Д'Аламбера ряд сходится при lim{n->[$8734$]} |a_n+1/a_n| < 1. Значит:

|x| < 1

[$8658$] - 1 < x < 1
- это интервал сходимости

2. При х = 1

Ряд принимает вид:

[$8721$]{n=1...[$8734$]} n*1ⁿ / (2n+1) = [$8721$]{n=1...[$8734$]} n / (2n+1)

Формула общего члена ряда a_n = n / (2n+1)

Данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости:

lim{n->[$8734$]} a_n = lim{n->[$8734$]} n / (2n+1) = 1/2 [$8800$] 0

Значит точка х = 1 не принадлежит области сходимости исходного ряда

3. При х = - 1

Ряд принимает вид:

[$8721$]{n=1...[$8734$]} n*(-1)ⁿ / (2n+1)

Также:

[$8721$]{n=1...[$8734$]} n*(-1)ⁿ / (2n+1) = [$8721$]{n=1...[$8734$]} (-1)ⁿ*{(1/2) - (1/(4n+2))} = {[$8721$]{n=1...[$8734$]} (-1)ⁿ*(1/2)} - {[$8721$]{n=1...[$8734$]} (-1)ⁿ/(4n+2)}

Частичная сумма ряда [$8721$]{n=1...m} (-1)ⁿ*(1/2) равна либо (-1/2), либо (1/2), либо 0
Следовательно суммы ряда [$8721$]{n=1...[$8734$]} (-1)ⁿ*(1/2) не существует

А знакочередующийся ряд {[$8721$]{n=1...[$8734$]} (-1)ⁿ/(4n+2)} сходится в соответствии с признаком Лейбница, так как для него:

|a_n| < |a_n+1|

lim{n->[$8734$]} |a_n| = lim{n->[$8734$]} 1/(4n+2) = 0

Значит сумма ряда {[$8721$]{n=1...[$8734$]} (-1)ⁿ/(4n+2)} - конечное число

Поэтому сумма

[$8721$]{n=1...[$8734$]} n*(-1)ⁿ / (2n+1) ={[$8721$]{n=1...[$8734$]} (-1)ⁿ*(1/2)} - {[$8721$]{n=1...[$8734$]} (-1)ⁿ/(4n+2)}

не существует, не является конечным числом

Тогда ряд [$8721$]{n=1...[$8734$]} n*(-1)ⁿ / (2n+1) расходится

Значит точка х = - 1 не принадлежит области сходимости исходного ряда

4. Итак исходный ряд сходится абсолютно при - 1 < x < 1, это и есть область сходимости


3-ья Задача

Ряд Фурье имеет вид:

(a₀/2) + [$8721$]{n=1...[$8734$]} (a_n*cos(n*x) + b_n*sin(n*x))

1. Вычисляем a_n

a_n = (1/pi)*[$8747$]_-pi^+pi f(x)*cos(nx)*dx = (1/pi)*[$8747$]_-pi^+pi (5x - 2)*cos(nx)*dx =

= / u=5x-2 , du=5*dx , dv=cos(nx)*dx , v=[$8747$]cos(nx)*dx=(1/n)*sin(nx) / =

= (1/pi)*(5x - 2)*(1/n)*sin(nx) |_-pi^+pi - (1/pi)*[$8747$]_-pi^+pi 5*(1/n)*sin(nx)*dx =

= (1/pi)*(5*pi - 2)*(1/n)*sin(pi*n) - (1/pi)*(- 5*pi - 2)*(1/n)*sin(- pi*n) - (1/pi)*5*(1/n)*(1/n)*(-1)*cos(nx) |_-pi^+pi =

= (1/pi)*5*(1/n²)*cos(nx) |_-pi^+pi = (1/pi)*5*(1/n²)*cos(pi*n) - (1/pi)*5*(1/n²)*cos(- pi*n) =

= (1/pi)*5*(1/n²)*cos(pi*n) - (1/pi)*5*(1/n²)*cos(pi*n) = 0

2. Вычисляем b_n

b_n = (1/pi)*[$8747$]_-pi^+pi f(x)*sin(nx)*dx = (1/pi)*[$8747$]_-pi^+pi (5x - 2)*sin(nx)*dx =

= / u=5x-2 , du=5*dx , dv=sin(nx)*dx , v=[$8747$]sin(nx)*dx=(-1/n)*cos(nx) / =

= (1/pi)*(5x - 2)*(-1/n)*cos(nx) |_-pi^+pi - (1/pi)*[$8747$]_-pi^+pi 5*(-1/n)*cos(nx)*dx =

= - (1/pi)*(5*pi - 2)*(1/n)*cos(pi*n) + (1/pi)*(- 5*pi - 2)*(1/n)*cos(- pi*n) + (1/pi)*5*(1/n)*(1/n)*sin(nx) |_-pi^+pi =

= - (1/pi)*(5*pi - 2)*(1/n)*cos(pi*n) + (1/pi)*(- 5*pi - 2)*(1/n)*cos(pi*n) + (1/pi)*5*(1/n)*(1/n)*sin(pi*n) - (1/pi)*5*(1/n)*(1/n)*sin(- pi*n) =

= - (1/pi)*(1/n)*(5*pi - 2 + 5*pi + 2)*cos(pi*n) = - (1/pi)*(1/n)*10*pi*(-1)ⁿ = - (10*(-1)ⁿ)/n

3. Итак ряд Фурье имеет вид:

f(x) = (a₀/2) + [$8721$]{n=1...[$8734$]} (a_n*cos(n*x) + b_n*sin(n*x)) = - [$8721$]{n=1...[$8734$]} {(10*(-1)ⁿ)/n}*sin(n*x)


4-ая Задача

Интеграл Фурье имеет вид:

(1/pi)*[$8747$]₀^[$8734$]da[$8747$]_-[$8734$]^+[$8734$] f(x)*cos(a*(x - t ))*dt

1. Вычисляем внутренний интеграл

[$8747$]_-[$8734$]^+[$8734$] f(x)*cos(a*(x - t))*dt = [$8747$]₀^т 1*cos(a*(x - t))*dt =

= - (1/a)*sin(a*(x - t)) |₀^т = - (1/a)*sin(a*x) + (1/a)*sin(a*(x - т)) = [sin(a*(x - т)) - sin(a*x)] / a =

= 2*cos[(a*x - a*т + a*x)/2]*sin[(a*x - a*т - a*x)/2] / a = - 2*cos[(2*a*x - a*т)/2]*sin[a*т/2] / a

2. Тогда:

f(x) = (1/pi)*[$8747$]₀^[$8734$]da[$8747$]_-[$8734$]^+[$8734$] f(x)*cos(a*(x - t ))*dt =

= - (2/pi)*[$8747$]₀^[$8734$] {cos[(2*a*x - a*т)/2]*sin[a*т/2] / a}*da

Здравствуйте, Ushastik1985.

Решение 1-ой задачи, более короткое.
(график исходной функции F(t) см. предыдущий ответ).

Определим функцию [$966$](t) следующим образом:
[$966$](t) = 0 при t <= 0,
[$966$](t) = t при t > 0.

Тогда "первый зуб" f₀(t) функции F(t) можно представить так:
f₀(t) = [$966$](t) - 2[$966$](t-1) + [$966$](t-2),
а его изображение легко вычисляется по теореме запаздывания:
f₀(p) = 1/p² - 2e^-p/p² + e^-2p/p² = (1 - e^-p)²/p².

Если F(t) сдвинуть вправо по оси x на 2 и добавть "первый зуб", мы снова получилм F(t):
F(t) = f₀(t) + F(t-2).

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям, с учетом теоремы запаздывания получим:
F(p) = f₀(p) + e^-2pF(p),
откуда
F(p) = f₀(p)/(1 - e^-2p) = f₀(p)/((1-e^-p)(1+e^-p)) =
= (1 - e^-p)/((p²(1 + e^-p))).

Умножив числитель и знаменатель на e^p/2, ответ можно представить в виде:
F(p) = th(p/2)/p².