Здравствуйте, Alik4546.

Представим заданное число так:
65 = 1 + 64
и воспользуемся формулой
ln (1 + t) = ln t + 2 ∙ [1/(2t + 1) + 1/(3 ∙ (2t + 1)³) + 1/(5 ∙ (2t + 1)⁵) + …].

Сначала находим ln 2. Для того, чтобы удовлетворить требованию к точности вычислений, ln 2 найдем с точностью приблизительно до 10-7. Для оценки погрешности вычислений имеем формулу
R_a < 1/[4 ∙ (2n + 1) ∙ 3^{2n - 1}].
Подбираем n так, чтобы выполнялось условие Ra ≈ 10^-7. Тогда
при n = 6 R_a < 1/[4 ∙ 13 ∙ 3¹¹] = 1,09 ∙ 10^-7,
и
ln 2 ≈ 2 ∙ [1/3 + 1/81 + 1/1215 + 1/15309 + 1/177147 + 1/1948617] = 0,6931471.

Далее находим
R_a < 1/[2 ∙ (2n + 1) ∙ 64 ∙ 65 ∙ 129^{2n - 1}],
при n = 2 R_a < 1/[2 ∙ 5 ∙ 64 ∙ 65 ∙ 129³] = 1,1 ∙ 10^-11,
ln 65 ≈ 6 ∙ ln 2 + 2 ∙ [1/129 + 1/6440067] = 4,17439.
Погрешность приближения не превышает числа
δ = 6 ∙ 1,09 ∙ 10^-7 + 2 ∙ 1,1 ∙ 10^-11 < 10^-5.

Ответ: 4,17439.

С уважением.

Прошу Вас давать свою оценку ответам экспертов. Это нужно хотя бы для того, чтобы ответивший Вам эксперт знал, удовлетворяет ли Вас качество ответа. Кроме того, оценка повышает рейтинг эксперта. И не боясь показаться неделикатным, обращаю Ваше внимание на то, что решая с помощью экспертов математические задачи, Вы одновременно решаете и свои проблемы. Это имеет соответствующий денежный эквивалент. Поэтому хотя бы иногда пополняйте кошелек экспертов...