Здравствуйте, Alik4546.

По признаку д'Аламбера:

lim {n[$8594$][$8734$]} (|a_n+1| / |a_n|) = lim {n[$8594$][$8734$]} (((n+1)⁵ / ((n+1)²+1)) * (|x|)ⁿ⁺¹) / ((n⁵ / (n²+1)) * (|x|)ⁿ) = |x| * lim {n[$8594$][$8734$]} ((n+1)⁵(n²+1) / (n⁵(n²+2n+2)) = |x| * lim {n[$8594$][$8734$]} (((n+1)/n)⁵) * ((n²+1) / (n²+2n+2) = |x|.

Для сходимости требуется, чтобы данный предел был строго меньше 1. Т.е. при |x| < 1 ряд абсолютно сходится.

Разберем граничные случаи (|x| = 1).

Абсолютное значение общего члена последовательности равно n⁵/(n²+1), предел которого при n [$8594$][$8734$] равен [$8734$], то есть ряд расходится, т.к. для сходимости требуется, чтобы указанный предел был равен 0.

Т.о. исследуемый ряд абсолютно сходится на отрезке (-1; 1).

Здравствуйте, Alik4546.

Применим признак Даламбера. Имеем
|a_{n + 1}/a_n| = |(n + 1)⁵ ∙ x^{n + 1}/((n + 1)² + 1) : [n⁵ ∙ xn/(n² + 1)]| =
= |(n + 1)⁵ ∙ x^{n + 1} ∙ (n² + 1)/[((n + 1)² + 1) ∙ n⁵ ∙ xⁿ]| = |(n + 1)⁵ ∙ x ∙ (n² + 1)/[((n + 1)² + 1) ∙ n⁵]| =
= |x| ∙ (n + 1)⁵/n⁵ ∙ (n² + 1)/((n + 1)² + 1) = |x| ∙ (1 + 1/n)⁵ ∙ (n² + 1)/(n² + 2n + 2) =
= |x| ∙ (1 + 1/n)⁵ ∙ (1 + 1/n²)/(1 + 2/n + 2/n²),
lim _{n → ∞} |a_{n + 1}/a_n| = lim _{n → ∞} |x| ∙ (1 + 1/n)⁵ ∙ (1 + 1/n²)/(1 + 2/n + 2/n²) = |x|.

Следовательно, при -1 < x < 1 заданный ряд сходится абсолютно, а при -∞ < x < -1 и 1 < x < +∞ - расходится.

Исследуем ряд на сходимость при x = -1 и x = 1. При x = 1 получаем ряд Σ _{n = 1}^∞ n⁵/(n² + 1).
Поскольку при n →∞ n⁵/(n² + 1) ~ n⁵/n² = n³ → ∞, то этот ряд расходится.

При x = -1 получаем знакочередующийся ряд Σ _{n = 1}^∞ (-1)ⁿ ∙ n⁵/(n² + 1), для которого ряд, составленный из абсолютных величин его членов (Σ_{n = 1}^∞ n⁵/(n² + 1)), как было установлено выше, расходится. Однако, из этого не следует расходимость заданного ряда. Применяя признак Даламбера к ряду Σ _{n = 1}^∞ n⁵/(n² + 1), получим
lim _{n → ∞} |a_{n + 1}/a_n| = lim _{n → ∞} (n + 1)⁵/n⁵ ∙ (n² + 1)/((n + 1)² + 1) =
= lim _{n → ∞} (1 + 1/n)⁵ ∙ (1 + 1/n²)/(1 + 2/n + 2/n²) = 1.

Мы установили, что заданный ряд не является абсолютно сходящимся – ведь ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Достаточный признак сходимости Лейбница (монотонное убывание последовательности абсолютных величин членов и стремление к нулю общего члена) для заданного ряда не выполняется. Рассмотрим заданный ряд подробнее. Имеем при x = -1
a₁ = 1⁵ ∙ (-1)¹/(1² + 1) = -1/2,
a₂ = 2⁵ ∙ (-1)²/(2² + 1) = 32/5,
a₃ = 3⁵ ∙ (-1)³/(3² + 1) = -243/10,
a₄ = 4⁵ ∙ (-1)⁴/(4² + 1) = 1024/17, …
Нетрудно видеть, что частичная сумма S_n (n > 1) любого числа членов ряда неограниченно возрастает с увеличением n. Аналогичная ситуация и при x = 1. Отсюда можно сделать вывод, что заданный ряд расходится при x = ±1.

Ответ: при -1 < x < 1 заданный ряд сходится абсолютно, а при -∞ < x ≤ -1 и 1 < x ≤ +∞ - расходится.

С уважением.