Здравствуйте, lawel.
" Х стремится к -5 справа и слева " записывают так : х->-5+0 или x->-5-0 . Вас , наверное , волнует что делать с получающимися нулями в знаменателе степени ? Когда ищут подобные пределы то вместо нуля понимают бесконечно малую величину . Если еденицу разделить на бесконечно малую величину , то в итоге имеем бесконечно большую величину и наоборот . Итак , при х->-5+0 имеем в знаменателе предела выражение : 1-(4^+00) - один минус 4 в степени + бесконечность , так весь знаменатель стремится к мнус бесонечности и в итоге весь прдел стремится к нулю .
При x->-5-0 случай несколько проще , имеем 1-(4^-00) , это эквивалентно 1-((1/4)^00) , ((1/4)^00)->0 , то есть в результате имеем 1/(1-0)=1 .
Напишу теперь в виде формулл ...
1) х->-5+0
Lim[1/(1-(4^(1/(x+5))))]=[-1/00]=0 .
2) х->-5-0
Lim[1/(1-(4^(1/(x+5))))]=1/(1-0)=1 .

Здравствуйте, lawel.

Полагаю, что Вы неверно воспроизвели условие задания. Судя по контексту, можно предположить, что требуется найти односторонние пределы функции
f(x) = 1/(1 – 4^{1/(x + 5)})
в точке x = -5.
Ошибка, по-видимому, заключается в том, что в знаменателе показателя степени, в которую возводится число 4, находится не x, а x + 5. В этом случае при x = -5 показатель степени принимает вид 1/0, то есть становится неопределенным.

При выполнении предельного перехода слева (справа) полагают, что значение аргумента x принимает сколь угодно близкие, но меньшие (большие) заданного (в Вашем случае – это число минус 5). Например, при приближении к числу минус 5 слева аргумент может принимать значения, равные -5,1, -5,01, -5,001, …, а при приближении к числу минус пять справа – значения, равные -4,9, -4,99, -4,999, …. Очевидно, что первом случае
x + 5 < 0,
при x → -5 - 0 1/(x + 5) < 0 → -∞, 4^{1/(x + 5)} → 4^-∞ = 0, 1 – 4^{1/(x + 5)} → 1 – 0 = 1, f(x) = 1/(1 – 4^{1/(x + 5)}) → 1/1 = 1,
то есть
lim _{x → -5 – 0} 1/(1 – 4^{1/(x + 5)}) = 1.

Во втором случае
x + 5 > 0,
при x → -5 + 0 1/(x + 5) > 0 → +∞, 4^{1/(x + 5)} → 4^+∞ = +∞,
1 – 4^{1/(x + 5)} → 1 – ∞ = -∞,
f(x) = 1/(1 – 4^{1/(x + 5)}) → 1/-∞ = 0,
то есть
lim _{x → -5 + 0} 1/(1 – 4^{1/(x + 5)}) = 0.

Ответ: lim _{x → -5 – 0} 1/(1 – 4^{1/(x + 5)}) = 1, lim _{x → -5 + 0} 1/(1 – 4^{1/(x + 5)}) = 0.

С уважением.