Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 169400
14.06.2009, 22:31
0.00 руб.
0 2 1
Образование
эксперты помогите пожалуйста
перейти от декартовых координат х,у к полярным, пологая x=rsinф, x=rcosф
dx/dt = y+x(x^2+y^2)
dy/dt = -x+y(x^2+y^2)

преобразовать уравнение, принимая u и v за новые независимые переменные
d^2*z/dx^2+d^2*z/dy^2+za^2=0, x=e^u*cosv, y=e^u*sinv

Обсуждение

Неизвестный
15.06.2009, 09:21
общий
это ответ
Здравствуйте, Andrey3333.
y=rsinф, x=rcosф
dy/dt=dr/dtsinф+rcosфdф/dt
dx/dt=dr/dtcosф-rsinфdф/dt
dr/dt=dx/dtcosф+dy/dtsinф
dф/dt=1/r dy/dtcosф-1/r dx/dtsinф
dr/dt=(rsinф+rcosфr^2)cosф+(-rcosф+rsinфr^2)sinф=r^3
dф/dt=1/r(-rcosф+rsinфr^2)cosф-1/r(rsinф+rcosфr^2)sinф=-1


Неизвестный
18.06.2009, 10:23
общий
Вторая задача, если еще нужна.

d^2*z/dx^2+d^2*z/dy^2+za^2=0, x=e^u*cosv, y=e^u*sinv.

x^2+y^2=e^(2u)*(cos^2(v)+sin^2(v))=e^(2u) => u=ln(x^2+y^2);
tgv=y/x => v=arctg(y/x);
dz/dx=dz/du*du/dx+dz/dv*dv/dx= dz/du*e^(-u)*cosv+dz/dv*(-e^(-u))*sinv;
dz/dy=dz/du*du/dy+dz/dv*dv/dy=dz/du*e^(-u)*sinv+dz/dv*e^(-u)cosv;
d^2z/dx^2=d^2z/dv^2*(-e^(-u)*sinv)^2+dz/dv*[e^(-u)*sinv*e^(-u)*cosv-e^(-u)*cosv*(-e^(-u)*sinv)]+
+d^2z/du^2*(e^(-u)*scosv)^2+dz/du(-e^(-u)*cosv*e^(-u)cosv+e^(-u)*(-sinv)*(-e^(-u))*sinv=
=d^2z/dv^2*e^(-2u)*(sinv)^2+d^2z/du^2*e^(-2u)(cosv)^2+dz/dv(e^(-2u)*sin(2v)+dz/du*(-cos(2v)).

d^2z/dy^2=d^2z/dv^2*(e^(-u)*cosv)^2+dz/dv*(-e^(-u)*cosv*e^(-u)*sinv+e^(-u)*(-sinv)*e^(-u)*cosv) +
+d^z/du^2*(e^(-u)*sinv)^2+dz/du*(-e^(-u)*sinv*e^(-u)sinv+e^(-u)*cosv*e^(-u)*cosv)=
= d^2z/dv^2*e^(-2u)*(cosv)^2+d^2z/du^2*E^(-2u)*(sinv)^2+dz/dv*e^(-2u)*(-2sin(2v))+dz/du*e^(-2u)*cos(2v).

d^2z/dx^2+d^2z/dy^2=e^(-2u)*[d^2z/du^2+d^2z/dv^2].
Подставляем в исходное уравнение и получаем

d^2*z/dx^2+d^2*z/dy^2+za^2=0
e^(-2u)*[d^2z/du^2+d^2z/dv^2] za^2=0.

Форма ответа