Здравствуйте, Кондаков Александр Олегович.

1. Находим предел общего члена ряда:
lim _{n → ∞} u_n = lim _{n → ∞} (2n – 1)/(n² + n) = (разделим числитель и знаменатель дроби на n²) =
= lim _{n → ∞} (2/n – 1/n²)/(1 + 1/n) = lim _{n → ∞} (2/n – 1/n²)/lim _{n → ∞} (1 + 1/n) = 0/1 = 0.
Необходимый признак сходимости выполняется.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом Σ_{n = 1}^∞ 1/n:
отношение общего члена данного ряда к общему члену гармонического ряда
(2n – 1)/(n² + n) : 1/n = (2n – 1)/(n(n + 1)) : 1/n = (2n – 1)/(n + 1) = (2 – 1/n)/(1 + 1/n) → 2, то есть стремится к конечному ненулевому пределу при n → ∞. Поскольку гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

2. Используем признак Даламбера:
u^{n + 1}/uⁿ = 3^{n + 2}/(n + 1)! : 3^{n + 1}/n! = 3^{n + 2}n!/(3^{n + 1}(n + 1)!) = 3/(n + 1) = (3/n)/(1 + 1/n) → 0/1 = 0 < 1 при n → ∞.

Следовательно, данный ряд сходится.

3. Поскольку u_n = 1/(n(ln n + 1)), то f(x) = 1/(x(ln x + 1)) – непрерывная положительная и монотонно убывающая на интервале ]1; +∞[ функция. Используем интегральный признак Коши.

∫dx/(x(ln x + 1)) = ∫d(ln x + 1)/(ln x + 1) = ln ln |x + 1| (постоянную интегрирования опускаем),
₁∫^+∞ dx/(x(ln x + 1)) = lim _{b → +∞} ln ln (x + 1)|₁^b = lim _{b → +∞} (ln ln (b + 1) – ln ln 2) = +∞.

Поскольку найденный несобственный интеграл расходится, то расходится и данный ряд.

С уважением.