Здравствуйте, Aesth!

Поскольку
z(x, y) = xy(12 – x – y) = 12xy – x²y – xy²,
∂z/∂x = 12y – 2xy – y² = y(12 – 2x – y),
∂z/∂y = 12x – x² – 2xy = x(12 – x – 2y),
∂z/∂x = y(12 – 2x – y) = 0, ∂z/∂y = x(12 – x – 2y) = 0 при x₁ = 0, y₁ = 0, x₂ = 4, y₂ = 4,
то M₁(0; 0), M₂(4; 4) – стационарные точки. В этих точках dz = 0, и выполняются необходимые условия экстремума.

Поскольку
∂²z/∂x² = -2y,
∂²z/∂y² = -2x,
∂²z/(∂x∂y) = 12 – 2x – 2y,
и в точке M₁(0; 0)
A = ∂²z(0; 0)/∂x² = -2 ∙ 0 = 0,
B = ∂²z(0; 0)/(∂x∂y) = 12 – 2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 = 12,
C = ∂²z(0; 0)/∂y² = -2 ∙ 0 = 0,
∆ = AC – B² = 0 – (12)² = -144 < 0, то точка M₁ не является точкой экстремума.

Поскольку
в точке M₂(4; 4)
A = ∂²z(4; 4)/∂x² = -2 ∙ 4 = -8 < 0,
B = ∂²z(4; 4)/(∂x∂y) = 12 – 2 ∙ 4 – 2 ∙ 4 = -4,
C = ∂²z(4; 4)/∂y² = -2 ∙ 4 = -8 < 0,
∆ = AC – B² = (-8) ∙ (-8) – (-4)² = 64 – 16 = 48 > 0, то точка M₂ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке равно
z(4; 4) = 4 ∙ 4 ∙ (12 – 4 – 4) = 16 ∙ 4 = 64.

С уважением.