Здравствуйте, Screed!

Обозначим угол, заключенный между сторонами a и b, через [$945$]1, угол, заключенный между сторонами b и c, через [$945$]2, угол, заключенный между сторонами c и d, через [$945$]3, а угол, заключенный между сторонами d и a, через [$945$]4. Поскольку четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны, а сумма внутренних углов четырехугольника равна 360[$186$], то
[$945$]1 + [$945$]3 = [$945$]2 + [$945$]4 = 180[$186$],
откуда
[$945$]3 = 180[$186$] - [$945$]1.

По теореме косинусов
a^2 + b^2 - 2*a*b*cos [$945$]1 = c^2 + d^2 - 2*c*d*cos [$945$]3,
a^2 + b^2 - 2*a-b*cos [$945$]1 = c^2 + d^2 - 2*c*d*cos (180[$186$] - [$945$]1),
a^2 + b^2 - 2*a*b*cos [$945$]1 = c^2 + d^2 + 2*c*d*cos [$945$]1,
a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 2*a*b*cos [$945$]1 + 2*c*d*cos [$945$]1,
a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 2*cos [$945$]1*(a*b + c*d),
cos [$945$]1 = (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)/(2*(a*b + c*d)),
[$945$]1 = arccos [(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)/(2*(a*b + c*d))].

Ответ: arccos [(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)/(2*(a*b + c*d))].