Здравствуйте, Олег Валерьевич!

Решение.

Соединим центры окружностей - точки P и Q - и проведем радиусы PA и QB в точки касания. Тогда PA [$8869$] AB и QB [$8869$] AB. Проведем PK параллельно AB. Тогда PK [$8869$] QB, и треугольник PKQ - прямоугольный. В нем PQ = R + r, QK = R - r, PK = AB = [$8730$]((PQ)^2 - (QK)^2) = 2[$149$][$8730$](R[$149$]r).

Рассмотрим треугольник ACB. По свойству углов между касательной и хордой [$8736$]ABC = (1/2)[$149$][$8736$]BQC, [$8736$]CAB = (1/2)[$149$][$8736$]APC, откуда [$8736$]ABC + [$8736$]CAB = (1/2)[$149$]([$8736$]BQC + [$8736$]APC) = (1/2)[$149$]180[$186$] = 90[$186$] (поскольку PA параллельна QB, ибо PA [$8869$] AB и QB [$8869$] AB), и [$8736$]ACB = 180[$186$] - ([$8736$]ABC + [$8736$]CAB) = 180[$186$] - 90[$186$] = 90[$186$]. Следовательно, треугольник ACB - прямоугольный.

Для нахождения катетов треугольника ACB можно поступить следующим образом. Найдем высоту h треугольника ACB. Для этого опустим из точки C перепендикуляр CM [$8869$] AB, обозначив через L точку пересечения этого перпендикуляра с прямой PK. Получим
CL / PC = QK / PQ, или CL = PC [$149$] QK / PQ = r [$149$] (R - r) / (R + r).
Следовательно,
h = CM = CL + LM = CL + PA = r [$149$] (R - r) / (R + r) + r = 2[$149$]R[$149$]r/(R + r).

Далее, для нахождения площади треугольника ACB имеем
S = AB [$149$] CM / 2 = c [$149$] h / 2,
S = BC [$149$] AC /2 = a [$149$] b /2,
значит,
для нахождения неизвестных катетов BC = a и AC = b получаем систему двух уравнений:
a^2 + b^2 = c^2,
a [$149$] b = c [$149$] h,
решая которую (выкладки опускаем), находим
a = 2 [$149$] R [$149$] [$8730$](r / (R + r)), b = 2 [$149$] r [$149$] [$8730$] (R / (R + r)).

Ответ: AB = 2 [$149$] [$8730$](R[$149$]r), BC = 2 [$149$] R [$149$] [$8730$](r / (R + r)), AC = b = 2 [$149$] r [$149$] [$8730$] (R / (R + r)).

Вполне может оказаться, что найти катеты можно и более простым путем, но я привел тот, который первым пришел в голову...

С уважением.