Здравствуйте, Кондрашов Дмитрий! Вы должны были указать по какой переменной нужна производная : по х , по у или по обеим . Я найду всё . Перепишем Ваше выражение немного в другой вид :
Ln(y) - arctg(x/y) = F(x;y) = 0 / Теперь найдём частные производные по х и по у .
F'(x) = (-1)*(1/y)*((y^2)/((y^2)+(x^2))) = (-y)/((y^2)+(x^2)) .
F'(y) = (1/y) + (-1)*(-x/(y^2))*((y^2)/((y^2)+(x^2))) = (1/y) + (x/((x^2)+(y^2))) .
dy/dx = - F'(x)/F'(y) , здесь F'(y) стоит преобразовать от суммы дробей к 1 дроби .
F'(y) = [(x^2)+x*y+(y^2)]/[y*((x^2)+(y^2))] . Теперь при нахождении dy/dx знаменатели сократятся и мы получим относительно простую дробь ...
dy/dx = (-y)/[(x^2)+x*y+(y^2)] .
dx/dy вообще просто , выразив из заданого уравнения х через у : X = y*tg[Ln(y)] =>
dx/dy = tg[Ln(y)] + (1/((cos(Lny))^2) .
dF(x;y) = F'(x)*dx + F'(y)*dy - это называют полным дифференциалом функции заданой неявно .
dF(x;y) = [(-y)/((y^2)+(x^2))]*dx + [{(x^2)+x*y+(y^2)]/[y*((x^2)+(y^2))}]*dy .
Можно ещё найти вторые производные , но там вычисления намного сложнее ...
d^2(F) = F"(xx)*d(x^2) + 2*F"(xy)*dxdy + F"(yy)*d(y^2) - это полный дифференциал 2 порядка .
Формулы для d^2(y)/d(x^2) и d^2(x)/d(y^2) очень громоздкие .
С уважением .