Здравствуйте, Dasha Kotova!

Нахождение данного интеграла требует большого объема выкладок, которые трудно воспроизвести без редактора формул. Поэтому ограничимся общими указаниями.

Данный интеграл имеет вид
I=∫(x^1)*((1-x^4)^(-1/2))*dx, то есть является интегралом от дифференциального бинома.

Дифференциальными биномами называются выражения вида (x^m)*((a+b*x^n)^p)*dx, где a, b – действительные числа, m, n, p – рациональные числа. Интегралы от дифференциальных биномов берутся лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел p, (m+1)/n или ((m+1)/n)+p является целым.

В Вашем случае m=1, a=1, b=-1, n=4, p=-1/2. При этом p=-1/2 не является целым числом, (m+1)/n=(1+1)/4=2/4=1/2 не является целым числом, ((m+1)/n)+p=(1/2)+(-1/2)=0 – целое число. Из курса математического анализа известно, что в этом случае для интегрирования бинома следует использовать подстановку a+b*x^n=(x^n)*(t^s), где s – знаменатель дроби p.

Поскольку s=2, то указанная подстановка принимает вид 1-x^4=(x^4)*(t^2), и после достаточно простых преобразований, позволяющих выразить множители дифференциального бинома через t, нахождение заданного интеграла сводится к нахождению интеграла, равного
-(1/4)*∫dt/(t*(1+t^2)), который, в свою очередь, можно найти, положив u=1/(1+t^2), dv=dt/t и применив интегрирование по частям.

Затем в получившемся интеграле следует вернуться к исходной переменной x, используя найденное в начале процесса решения выражение t через x (t=√((1-x^4)/x^4)), и получить искомый ответ…

Полагаю, что у Вас все получится. Хотя понадобится много времени. Успехов Вам!

С уважением.