Здравствуйте, Alex Bond!
Введём обозначения:
A – множество целых неотрицательных чисел, не превосходящих n, делящихся на 6;
B – множество целых неотрицательных чисел, не превосходящих n, делящихся на 10;
C – множество целых неотрицательных чисел, не превосходящих n, делящихся на 15.

Тогда по формуле включений и исключений для трёх множеств:
|A объединение B объединение C| = |A| + |B| + |C| - (|A пересечение B| + |A пересечение C| + |B пересечение C|) + |A пересечение B пересечение C|.

A объединение B объединение C – это множество чисел, делящихся либо на 6, либо на 10, либо на 15;
A пересечение B – множество чисел, делящихся и на 6, и на 10;
A пересечение C – множество чисел, делящихся и на 6, и на 15;
B пересечение C – множество чисел, делящихся и на 10, и на 15;
A пересечение B пересечение C – множество чисел, делящихся и на 6, и на 10, и на 15.

Т.к. n = 30m, то чисел, делящихся на 6, будет n/6 = 5m (|A| = 5m); чисел, делящихся на 10, будет n/10 = 3m (|B| = 3m); чисел, делящихся на 15, будет n/15 = 2m (|C| = 2m).

НОД(6,10) = 30, поэтому число делится и на 6, и на 10 в том и только в том случае, когда оно делится на 30. Значит, |A пересечение B| = n/30 = m.
НОД(6,15) = НОД(10,15) = 30, и, значит, |A пересечение C| = |B пересечение C| = n/30 = m.

НОД(6,10,15) = 30 и поэтому |A пересечение B пересечение C| = n/30 = m.

Получаем:
|A объединение B объединение C| = 5m + 3m + 2m – (m + m + m) + m = 8m.
Т.е. имеется 8m чисел, делящихся или на 6, или на 10, или на 15. Все остальные числа не делятся ни на 6, ни на 10, ни на 15 — таких чисел n-8m = 30m-8m = 22m, что и требовалось доказать.