Здравствуйте, gena.sorbuchev!
Профессиональные эксперты-математики не ответили на Ваш Вопрос, к сожалению. Я пытаюсь помочь Вам, поскольку срок действия Вашей Консультации истекает.
Дано : криволинейный интеграл
L[$8747$]x·dy по контуру L
AB ,
L
AB - дуга правой полу-окружности x
2 + y
2 = a
2 от точки A(0,-a) до точки B(0,a).
Вычислить интеграл по заданным координатам.
Решение : Для вычисления этого интеграла с непривычно-переставленными именами аргумента и функции, да ещё неявно-заданной областью интегрирования, надо пофантазировать в назначении порядка и пределов интегрирования. Процесс расстановки пределов интегрирования хорошо описан в учебно-методической статье "
Двойные интегралы для чайников"
Ссылка1 . Автор статьи настоятельно советует начертить график для решения подобных нетрадиционных интегралов. Ниже я прикрепил график.
Для графо-построения мне пришлось задать произвольное значение для параметра a=10 . На графике хорошо видно, что наш интеграл не просто какой-то абстрактный. Подинтегральная функция x·dy олицетворяет площадь элементарной полоски шириной x и высотой dy . Таким образом, вычисленный интеграл должен возвратить нам площадь правого полукруга [$960$]·a
2/2 . Ответ текущей задачи мы уже получили.
Для обхода контура интегрирования я предлагаю 2 варианта. Первый подсказан уже в условии задачи: Разделить полукруг на полоски элементарной высоты dy и взять интеграл
-aa[$8747$]x(y)·dy =
-aa[$8747$][$8730$](a
2 - y
2)·dy
Ответ получается [$960$]·a
2/2 , как и ожидали, но сам процесс взятия интеграла
[$8747$][$8730$](a
2 - y
2)·dy проблематичен для не-матиматика. Этот интеграл отсутствует в популярных таблицах интегралов, американский хвалёный онлайн-решатель Вольфрам
Ссылка2 возвратил неправильный ответ. Мне удалось "подтасовать" первообразную с помощью Маткада и проверить её обратным дифференцированием.
Второй вариант : разделить полукруг на элементарные углы d[$945$] . Тогда x(y) заменяем на a·cos([$945$]) , а dy - на a·cos([$945$])·d[$945$] .
Интеграл a
2·cos
2([$945$])·d[$945$] с пределами от [$945$] = -[$960$]/2 до +[$960$]/2 вычисляется сравнительно легко и возвращет тот же результат.
Ответ : криволинейный интеграл равен [$960$]·a
2/2 .
Для проверки я задал a=10 и получил площадь полукруга 157 кв.ед, что соответствует площади квадратиков с голубой заливкой на графике ([$8776$]40 квадратиков по 4 кв.ед).