Здравствуйте, mega.chepyrnukh0699@list.ru!
В общем случае необходимое и достаточное условие существования экстремума (максимума или минимума) функции двух переменных
z(x, y) в некоторой точке имеет вид:
При этом, если производные
положительны, это будет точка минимума, а если отрицательны - точка максимума.
Для функции
z=2x[sup]2[/sup]y-x[sup]3[/sup]y-x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup] имеем
Из условия равенства нулю первых производных
или
определяем множество так называемых стационарных точек (в которых может быть максимум или минимум функции). Оно состоит из прямой
x = 0 (ось
Ox), точек
(2, 0) и
(1, 1/2). Значение выражения
для этих точек будет равно соответственно
0,
-16 и
2, то есть
(1, 1/2) - точка локального экстремума
z=1/4 (максимума, с учётом отрицательности вторых производных в этой точке),
(2, 0) не является точкой экстремума, для множества же точек прямой
x = 0 нельзя однозначно сказать, есть ли среди них точки экстремума.
Осталось проанализировать границы области
D, то есть прямую
x = 0 при
0[$8804$]y[$8804$]6 и прямые
y = 0,
y = 6 - x при
0[$8804$]x[$8804$]6. В первых двух случаях функция
z = 2x[sup]2[/sup]y-x[sup]3[/sup]y-x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup] = x[sup]2[/sup]y(2-x-y) тождественно равна 0, то есть не имеет точек экстремума, а для
y = 6 - x она принимает вид
z = -4x[sup]2[/sup](6-x) = 4x[sup]3[/sup] - 24x[sup]2[/sup]. Исследовав эту функцию одной переменной на экстремум, получаем
z' = 12x[sup]2[/sup] - 48x,
z'' = 24x - 48, откуда из
z' = 0 определяем стационарные точки
x = 0 и
x = 4, для которых
z'' равна соответственно
-48 и
48, то есть
x = 0 - точка локального максимума (
z = 0), а
x = 4 - точка локального минимума (
z = -96).
Итак, в заданной области
D функция
z=2x[sup]2[/sup]y-x[sup]3[/sup]y-x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup] принимает максимальное значение
z = 1/4 в точке
(1, 1/2), а минимальное значение
z = -96 - в точке
(4, 2).