Здравствуйте, danshed!
Дано: В треугольнике PQR длины сторон : PQ = 12, QR = 14, Радиус описанной окружности r=11.
Вычислить все варианты длины стороны PR .
Решение: В справочнке по школьной математике находим 2 формулы для вычисления площади треугольника:
Площадь вписанного треугольника : S = a·b·c / (4·R)
Формула Герона: S = [$8730$][p·(p-a)·(p-b)·(p-c)]
Здесь R - радиус описанной окружности, p = (a+b+c) / 2 - полупериметр.
Применим эти формулы к обозначениям Вашего Условия задачи:
S = PQ·QR·PR / (4·r)
p = (PQ + QR + PR)/2
S = [$8730$][p·(p - PQ)·(p - QR)·(p - PR)]
Поскольку обе площади относятся к одному и тому же треугольнику, приравняем их и решим уравнение:
PQ·QR·PR / (4·r) = [$8730$][p·(p - PQ)·(p - QR)·(p - PR)]
Вы можете решать это уравнение любым способом. Я предпочитаю делать вычисления в бесплатном приложении
ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad . Маткад вычисляет всё быстро и страхует от ошибок типа "человеческий фактор". Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ : В первом варианте решения длина стороны PR = 2,5 ед, координаты вершин : P(0,0), Q(6,5 ; 10,1), R(0,3 ; -2,5)
Во втором варианте решения длина стороны PR = 21 ед, координаты вершин : P(0,0), Q(6,5 ; 10,1), R(20,0 ; 6,3)