Здравствуйте, Марина!
Рассмотрим задачу 1 из представленных ниже. Я буду придерживаться тех обозначений, к которым приучен со студенческой скамьи, а Вам придётся, если Вы захотите использовать моё решение задачи, перейти к тем обозначениям, к которым приучены Вы.
При
имеем:
1) Известно, что два вектора не являются коллинеарными и на плоскости образуют базис, если их координаты не являются пропорциональными. В нашем случае
то есть векторы
и
имеют непропорциональные координаты и поэтому образуют базис на плоскости.
Пусть
Тогда для координат рассматриваемых векторов имеет место следующая система двух линейных уравнений:
Решая эту систему, получим
то есть
Коэффициенты в полученном разложении вектора
по векторам
являются его координатами в базисе, состоящем из этих векторов.
2) Векторы
и
будут коллинеарными, если их координаты пропорциональны, то есть
откуда получим
3) Векторы
и
будут перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть
откуда получим
4) Вычислим косинус угла
между векторами
и
как отношение скалярного произведения этих векторов к произведению их модулей. Получим
Разумеется, проверка правильности предложенного решения остаётся за Вами. Если Вы обнаружите ошибку, то сообщите об этом в мини-форуме консультации до истечения срока её действия. Тогда будем разбираться.
Об авторе:
Facta loquuntur.