Здравствуйте, katy_11!

Кратко рассмотрим первую систему. После приведения матрицы системы к треугольному виду путём элементарных преобразований получим матрицу

Эта матрица соответствует неопределённой системе. В качестве главных переменных выберем в качестве свободных переменных -- Получим систему уравнений
Значит, базис рассматриваемой системы образуют векторы

а размерность пространства решений системы равна двум.



Кратко рассмотрим вторую систему. После приведения расширенной матрицы системы

к треугольному виду получим матрицу
Чтобы установить общее решение неоднородной системы, применим тот же метод, что и для однородной, не учитывая столбец свободных членов. Как и в случае первой системы (см. выше) получим неопределённую систему

c базисными векторами

Значит, общее решение приведённой однородной системы для рассматриваемой неоднородной системы имеет вид


Установим какое-нибудь частное решение заданной неоднородной системы. Столбец

расширенной матрицы системы является линейной комбинацией базисных стобцов

этой матрицы, то есть

Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получим


Сравнивая последнее выражение с заданной неоднородной системой, записанной так:

получим, что коэффициенты составляют частное решение неоднородной системы


Факультативно заметим, что общее решение неоднородной системы имеет вид

или