Не получилось нормально указать функцию, привожу ее в другом виде:
y = x ^1/3, то есть корень кубический.

В каких точках нужно вычислить первую производную? Покажите, пожалуйста, своё решение.

В узлах новой сетки:
1.5 2.5 3.5 4.5 5.5

Исходная сетка из 31 элемента, могу сюда скопировать, у меня в таблице есть и в текстовом формате.
Сейчас приведу расчет.

По формуле Ньютона:

y(x)' = ([$916$]y₀ + ((2 * q -1) / 2) * [$916$]²y₀)) / h

[$916$]y₀ = y₁ - y₀ = 1.011 - 1 = 0.011
[$916$]²y₀ = (y₂ - y₁) - 0.011 = 1.0217 - 1.011 - 0.011 = - 0.0003
q₀ = (x - x₀) / h = (1.5 - 1) / 0.033333 = 15
y(1.5)' = (0.011 + ((2 * 15 - 1) / 2) * (-0.0003)) / 0.03333 = 0.1995
q₁ = (x - x₀) / h = (2.5 - 1) / 0.033333 = 45
y(2.5)' = (0.011 + ((2 * 45 - 1) / 2) * (-0.0003)) / 0.03333 = -0.0705
q₂ = (x - x₀) / h = (3.5 - 1) / 0.033333 = 75
y(3.5)' = (0.011 + ((2 * 75 - 1) / 2) * (-0.0003)) / 0.03333 = -0.3405
q₃ = (x - x₀) / h = (4.5 - 1) / 0.033333 = 105
y(4.5)' = (0.011 + ((2 * 105 - 1) / 2) * (-0.0003)) / 0.03333 = -0.6105
q₄ = (x - x₀) / h = (5.5 - 1) / 0.033333 = 135
y(5.5)' = (0.011 + ((2 * 135 - 1) / 2) * (-0.0003)) / 0.03333 = -0.8805

h = (b - a) / m = (2-1) / 30 = 0.033333
где a - начало интервала
b - конец интервала
m - количество шагов

Почему так:

В узлах новой сетки:
1.5 2.5 3.5 4.5 5.5

если в условии задачи указано:

интервал от 1 до 2

Задание выглядело так.
Вычислить первую производную с помощью полинома Ньютона.
Входные данные:
- исходная сетка узлов функции;
- значения дифференцируемой функции;
- новая сетка узлов, на которой необходимо вычислить значения производных функции;
- порядок полинома.
Выходные данные:
- новая сетка;
- значения производных функции на новой сетке;
- порядок полинома;
- погрешность дифференцирования.

И функция задана так:
y=∛x, x∋[1,2], h=0.1; x_j=1+j h/3, j=0,…,30.
Я взяла формулу Ньютона второго порядка, а новую сетку (1.5 2.5 3.5 4.5 5.5) просто взяла из другого задания, т.к. посчитала, что ее можно придумать самим. Или результирующую сетку можно вывести из приведенных исходных данных?

Взятая Вами из другого задания сетка узлов не принадлежит интервалу [1, 2]. Поскольку новая сетка узлов относится к входным данным, то я не знаю, какой она должна быть. Узнайте об этом у своего преподавателя или найдите в методических указаниях по решению задачи.

Понятно, не знала, что должен быть один интервал для обеих сеток. В методичке ничего больше нет, кроме того, что я скопировала выше.
Я уже отправила вопрос преподавателю, думаю завтра ответит. Не закрывайте консультацию, пожалуйста.

Меня как раз и смущали полученные значения производных, начиная со второй, т.е. со значения 2,5, а это как раз первая точка, которая выходит за пределы интервала. Теперь мне стало понятно почему так.

Хорошо, давайте дождёмся ответа преподавателя.

Здравствуйте!
Я уточнила, оказывается в условии функция задана так:
y=x^(1/3), x[$8715$][1,2], h=0.1; x[j]=1+j * (h/3), j=0,…,30.
В этом условии две сетки, одна исходная, которая зашифрована так:
y=x^(1/3), x[$8715$][1,2], h=0.1;
и одна результирующая, которая указана так:
x[j]=1+j * (h/3), j=0,…,30.
К сожалению, порядок для вычисления не указан, то есть он должен быть любым, так как данная задача на написание программы на Си или С++, и предполагается, что человек указывает порядок полинома, а программа рассчитывает для него производную.
Я хотела разобраться с теорией сначала, чтобы составить правильно алгоритм, но теперь понимаю, что вручную производную, используя формулу 10-го порядка рассчитать проблематично.
Поэтому у вопрос, может мне лучше задать вопрос в разделе С/С++ ? Программу написала, но результат она дает не тот

Полином второго порядка можно использовать и вручную или, например, применив MS Rxcel. Что касается программы, то обратитесь с вопросом в другой раздел.