Здравствуйте, shinghalova!
Запишем уравнение в виде
Уравнение вида
является уравнением в полных дифференциалах, если функции
M и
N непрерывны, дифференцируемы и имеют непрерывные частные производные, причём
Тогда левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции
u(x, y), причём
В данном случае
M(x, y) = 2x,
N(x, y) = y[sup]2[/sup]+2y+x[sup]2[/sup] и
то есть
Тем не менее, иногда удаётся подобрать такую дополнительный множитель
[$956$](x, y), что уравнение
становится уравнением в полных дифференциалах. Тогда для этого уравнения будет выполняться условие
или
откуда
или после деления на
[$956$]В данном случае
Это условие выполняется, если
откуда
Домножая исходное уравнение на
e[sup]y[/sup], получаем
Для этого уравнения
M(x, y) = 2xe[sup]y[/sup],
N(x, y) = (y[sup]2[/sup]+2y+x[sup]2[/sup])e[sup]y[/sup] и
то есть имеем уравнение в полных дифференциалах, левая часть которого - полный дифференциал некоторой функции
u(x, y). Так как
то
Тогда
а с другой стороны
Приравнивая, получаем
откуда
и
то есть общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид
Подставляя
x = 1,
y = 0, получаем
С = 1, то есть решением задачи Коши при заданном начальном условии будет