Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 188948
16.03.2016, 14:32
0.00 руб.
0 3 2
Образование
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Сколько надо взять слагаемых суммы 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... чтобы получилось трехзначное число,
состоящее из одинаковых цифр?

Обсуждение

давно
Лысков Игорь Витальевич
Посетитель
7438
7205
16.03.2016, 15:37
общий
16.03.2016, 15:42
Адресаты:
Из формулы суммы арифметической прогрессии получаем:
2S = (n+1)n
По условию, нам надо проверить всего 10 чисел m = 222, 444, 666, 888, 1110, 1332, 1554, 1776, 1998
Проверяем следующим образом:
1) находим целую часть от корня из m, n = [sqrt(m)]
2) проверяем равенство n (n+1) = m
Путем недолгих и несложных вычислений находим 1332 = 36*37, а значит, требуемое число n = 36
Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
16.03.2016, 15:56
общий
это ответ
Здравствуйте, svrvsvrv!

Задачу можно решить, используя формулу для суммы S[sub]n[/sub] первых n членов арифметической прогрессии:
S[sub]n[/sub]=1/2*(a[sub]1[/sub]+a[sub]n[/sub])n=a[sub]1[/sub]n+n(n-1)d/2.

В нашем случае a[sub]1[/sub]=d=1 и
S[sub]n[/sub]=n+(n[sup]2[/sup]-n)/2,

n[sup]2[/sup]+n-2S[sub]n[/sub]=0. (1)


Из значений S[sub]n[/sub], удовлетворяющих условию задачи, только при S[sub]n[/sub]=666 уравнение (1) имеет целочисленные решения:
n[sup]2[/sup]+n-2*666=0,

D=1[sup]2[/sup]-4*1*(-2*666)=5329, [$8730$]D=73,

n[sub]1, 2[/sub]=(-1[$177$]73)/(2*1),

по смыслу задачи подходит только
n=(-1+73)/2=36.


Ответ: нужно взять 36 слагаемых.

С уважением.
5
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Лангваген Сергей Евгеньевич
Советник
165461
578
18.03.2016, 07:47
общий
это ответ
Здравствуйте, svrvsvrv!
Еще один вариант решения этой задачи.

Сумма членов арифметической прогрессии:
1+2+..+n = n*(n+1)/2.
Трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр, запишется в виде:
a*100 +a*10 + a = a*111 = 3*37*a,
где a записывается одной цифрой.

Равенство n*(n+1)/2 = 3*37*a возможно, только если
1) n или n+1 делится на 37
2) n или n+1 делится на 3

Этим условиям удовлетворяет значение n = 36 (36 делится на 3, n+1=37).
36*37/2 = 18*37 = 6*3*37 = 111*6 = 666.

Нетрудно убедиться, что это решение единственно.

Ответ: n = 36
5
Спасибо за простой вариант решения.
Форма ответа