Ответьте, пожалуйста, 19 (количество чисел, делящихся на 3*5*7) надо именно прибавлять в итоговой формуле или вычитать? Число 2016 в этой формуле не должно участвовать?

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, КАК ПОСТАВЛЕН ВОПРОС:
Сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся на 3 или 5 или 7?
ОБЫЧНО ставят вопрос "ни на 3, ни на 5, ни на 7".

НЕ делящихся на 3, 5, 7 будет, соответственно
2016 - 1095 = 921.

Формулу включений-исключений в этой задаче можно заменить следующим рассуждением.
1) Считаем количество чисел, делящихся на 3, 5, 7 отдельно и складываем.
2) Так как мы дважды посчитали числа, делящиеся на 3*5, 3*7, 5*7, вычтем их количество.
3) Теперь разберемся с числами, делящимися на 3*5*7. Мы посчитали их 3 раза с плюсом на шаге 1, и три раза с минусом на шаге 2,
Поэтому их число нужно прибавить, т.е., 19 идет с плюсом.

Большое спасибо за объяснение.
Меня беспокоит следующее:
Наш вопрос - сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся на 3 или 5 или 7?
Другим было бы решение задачи с вопросом - сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?
Ведь решения этих задач должны отличаться?

Как понимать формулировку "не делятся на 3 или 5 или 7"?
Есть две возможности:
1) не делятся ни на одно из чисел 3, 5, 7;
2) не делятся на 3, 5 и 7 одновременно.
По всей видимости, в задаче подразумевается (1), иначе вместо союза "или" использовался бы союз "и".
Мой ответ - это ответ на вопрос (1). Ответ на вопрос (2) будет 2016 - 19 = 1997.

Спасибо. Вот и меня также формулировка вопроса ставит в тупик. Я её понимаю в 3-м варианте, отличном от Ваших 2-х:
не делятся хотя бы на одно из предложенных чисел (т.е. не делится или на 3 или на 5 или на 7). Как решать в таком случае?

Ваше условие: "не делится или на 3 или на 5 или на 7".
Числа 7, 14, 21, делятся на 7, следовательно, условию не удовлетворяют.
Числа 3, 6, 9, .. и 5, 10, 15 ... - аналогично, ему не удовлетворяют.
Так?

Видимо, так.

Но 15 делится и на 3, и на 5

Видимо, так.

Если так, то ваше условие определяет числа, не делящиеся ни на одно из 3,5,7, т. к. мы исключаем все числа, делящиеся на какое-нибудь из перечисленных.

Но 15 делится и на 3, и на 5

И это число не удовлетворяет вашему условию. Или удовлетворяет?

Если честно, я уже настолько запутался, что скоро буду сомневаться, сколько будет 2х2.

Ничего, такое бывает.

Добавлю пример с небольшими числами, посмотрите, может быть, позже, чтобы разобраться.
Пусть диапазон чисел будет от 1 до 31, делить будем на 2, 3, 5.

На 2 делятся 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 (15 чисел)
На 3 делятся 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 (10 чисел)
На 5 делятся 5 10 15 20 25 30 (6 чисел)

На 2 и 3 одновременно делятся 6 12 18 24 30 (5 чисел)
На 2 и 5 одновременно делятся 10 20 30 (3 числа)
На 3 и 5 одновременно делятся 15 30 (2 числа).

На 2, 3, 5 одновременно делится 30 (1 число).

Ни на 2, ни на 3, ни на 5 не делятся (получим вычеркиванием из ряда 1..31):
1 7 11 13 17 19 23 29 31 (всего 9 чисел).

То же, по формуле включений-исключений:
31 - (15 + 10 + 6 -5 -3 -2 + 1) = 9.

Большое спасибо за помощь. Меня ставят в тупик не большие цифры, а сама формулировка вопроса. Задача с нашим вопросом, я так понимаю, решается также, как вышеприведённая, и в ответе 921?

Да.

Меня ставят в тупик не большие цифры, а сама формулировка вопроса.

Кажется, понял, в чем дело. Обозначим утверждения:
A - делится на 3,
B - делится на 5,
C - делится на 7.
не (А или В или С) - это одно условие, ответ в этом случае 921.
(не A) или (не B) или (не C) - совсем другое, ответ 1997.
Все зависит от того, к чему относить частицу "не", т.е., условие задачи можно понять по-разному из-за неаккуратной формулировки.
Тем не менее думаю, что следует держаться первого варианта.

СПАСИБО. Вы очень помогли мне.

ПЕРВАЯ ЗАДАЧА: сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся на 3 или 5 или 7?
В первой задаче решение 2016-2016:(3х5х7)=1997.
ОТВЕТ: 1997.

ВТОРАЯ ЗАДАЧА: сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?
Во второй задаче решение будет такое (если я правильно понял):
Количество чисел, делящихся на 3, 5, 7:
[2016/3]=672, [2016/5] = 403, [2016/7]=288.
Количество чисел, делящихся на 3*5, 3*7, 5*7:
[2016/(3*5)]=134, [2016/(3*7)]=96, [2016/(5*7)]=57.
Количество чисел, делящихся на 3*5*7:
[2016/(3*5*7)]=19
Количество чисел, делящихся на 3 или 5 или 7, находим по формуле включений-исключений:
672 + 403 + 288 - 134 - 96 - 57 + 19 = 1095.
Количество чисел, НЕ делящихся ни на 3, ни на 5, ни на 7:
2016 - 1095 = 921.
ОТВЕТ: 921.


ПРАВИЛЬНО ЛИ Я ПОНЯЛ?

Нет, по-моему обе задачи одинаковы, и ответ 921.

"не красить в красный или синий или зеленый" = не красить ни в один из этих цветов.
Аналогично:
"не делится на 3 или 5 или 7" = "не делится ни на одно из этих чисел"