Здравствуйте, Илья!
1. Вычисляем координаты первой вершины треугольника, находящейся на пересечении сторон, лежащих на прямых, уравнения которых заданы. Для этого решаем систему уравнений
Первая вершина треугольника - точка
2. Вычисляем координаты второй вершины треугольника, которая расположена напротив стороны, лежащей на прямой, заданной уравнением
Высота, опущенная из искомой вершины на указанную прямую, перпендикулярна этой прямой и проходит через точку
Поэтому уравнение прямой, на которой лежит эта высота, суть
или
Искомая вершина треугольника является точкой пересечения прямой, уравнение которой мы вывели, и стороны треугольника, лежащей на прямой, заданной уравнением
Чтобы вычислить координаты этой вершины, решаем систему уравнений
Вторая вершина треугольника - точка
3. Вычисляем координаты третьей вершины треугольника, которая расположена напротив стороны, лежащей на прямой, заданной уравнением
Высота, опущенная из искомой вершины на указанную прямую, перпендикулярна этой прямой и проходит через точку
Поэтому уравнение прямой, на которой лежит эта высота, суть
или
Искомая вершина треугольника является точкой пересечения прямой, уравнение которой мы вывели, и стороны треугольника, лежащей на прямой, заданной уравнением
Чтобы вычислить координаты этой вершины, решаем систему уравнений
Третья вершина треугольника - точка
4. Выводим уравнение третьей стороны треугольника. Прямая, на которой лежит эта сторона, проходит через вторую и третью вершины треугольника. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки, и получим
Полученное уравнение и является искомым.
5. Для косвенной проверки полученного решения выведем уравнение прямой, содержащей высоту, проведённую из первой вершины треугольника на третью сторону. Эта прямая проходит через точку
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки, и получим
Произведение угловых коэффициентов прямой, на которой лежит третья сторона треугольника, и прямой, на которой лежит опущенная на эту сторону высота, равно
как и должно быть.
Ответ:
Пункты 1 и 5 решения при желании можно опустить. Несмотря на то, что задача сравнительно простая, ошибиться в выкладках легко. Поэтому рекомендую проверить их.
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.