Здравствуйте, Илья!
2.
Общее решение неоднородного уравнения y"+4y'=e^-2x будем искать в виде
у=у₀+Y, где у₀ - решение сооответствующего однородного уравнения, Y - некоторое частное решение неоднородного уравнения.

Решим однородное уравнение y"+4y'=0.
Характеристическое уравнение k²+4k=0 имеет действительные корни k₁=-4, k₂=0.
Следовательно, у₀=С₁e^{k[sub]1[/sub]x}+C₂e^{k[sub]1[/sub]x}, то есть у₀=С₁e^-4x+C₂.
Правая часть неоднородного уравнения имеет вид f(x)=e^-2x, поэтому его частное решение следует искать в виде Y=Ae^-2x.
Дифференцируя эту функцию дважды, находим:
Y'=-2Ae^-2x, Y''=4Ae^-2x.
Подставляя функцию Y и ее вторую производную в неоднородное уравнение, получим:
4Ae^-2x-8Ae^-2x=e^-2x.
Приводя подобные члены и сокращая на e^-2x, имеем -4А=1. Отсюда .
Тогда .
Таким образом, - общее решение неоднородного уравнения.

Осталось на основании начальных условий y(0)=1, y'(0)=-2 определить константы С₁ и C₂.
y(0)=1:
Продифференцируем найденную функцию у:

y'(0)=-2:

Значит, искомое частное решение имеет вид

Здравствуйте, Илья!

5.
.

Надо два раза проинтегрировать. Что мы и сделаем.
Непосредственно проверяется(табличный интеграл, кстати), что
.
Так что
.

.
Делая замену y = cos x приходим к
.

Так что общее решение исходного есть
,
где A и B -- постоянные.

Здравствуйте, Илья!
1,a
x(dy/dx)=5-y
dy/(5-y)=dx/x
-ln|y-5|=ln|x|+const
ln|(y-5)x|=const
(y-5)x=C
y-5=C/x
y=5+(C/x)

Здравствуйте, Илья!

1в. Положим Тогда






и общим интегралом заданного дифференциального уравнения будет функция


С уважением.