Здравствуйте, Денис!
4.Необходимое условие экстремума - равенство нулю частных производных(обращение в ноль дифференциала).
,
.
Система линейная - т.е. экстремум может быть только один. В точке (x,y)=(0,3).
Чтобы убедиться, что это действительно экстремум, надо исследовать гессиан(члены второго порядка в разложении по Тейлору).
,
,
.
Т.е. в окрестности (0,3) z имеет вид
.
Соответствующая квадратичная форма положительно определена(да и по-простому - т.к. уравнение x
2 + x + 1 = 0 не имеет решений), потому (0,3) - действительно экстремум. Максимум.