Здравствуйте, Посетитель - 390096!

16.

Имеем неопределенность вида
Раскрываем ее путем почленного деления числителя и знаменателя на n.



17.

Никакой неопределенности тут нет, предел раскрывается "в лоб", путем прямой подстановки:


18.

Неопределенность вида
Раскрывается путем разложения на множители:


Т.к. x стремится к 2, но не равно 2, то (x-2), будучи сколь угодно близко к 0, все-таки не равно 0. Поэтому можно выполнить сокращение на общий множитель x-2.



20.

Неопределенность вида
Раскрывается путем приведения ко второму замечательному пределу:
Делаем замену:
Откуда x-2 = 6t
Тогда если x стремится к бесконечности, то и t также стремится к бесконечности.



22.
Производная частного 2-х функций:


Тогда:





23.
Производная сложной функции:


Тогда:












29.
Функция имеет 2 особые точки: x=3 и x=-4.
При x=-4 числитель равен 7, а знаменатель - нулю. Поэтому прямая x=-4 является вертикальной асимптотой графика данной функции.
При x=3 и числитель, и знаменатель обращаются в 0, при этом и левый, и правый пределы функции в точке x=3 конечные и целые:




Т.о. в данной точке вертикальной асимптоты нет.

Здравствуйте, Посетитель - 390096!

14
Перейти к каноническому виду - значит избавиться от коэффициентов при x и y. Для этого запишем уравнение как
4(x+1)²+9(y-1)²=36
Переходим к переменным x'=x+1, y'=y-1
В них получим уравнение в каноническом виде
x'²/9+y'²/4=1
Этот переход соответсвует перемещению начала координат в точку (-1,1)

15
Переход к полярной системе координат проходит по формулам
x=r*cos [$966$]
y=r*sin [$966$]
Если подставить их в уравнение, поулчим (r*cos [$966$])²+(r*sin [$966$])²=r²
r²=4(r+r*cos [$966$])
Сокращая на r
r=4(1+cos [$966$])

19
В пределе x->0 значения синуса и тангенса можно заменить значением x.

Здравствуйте, Посетитель - 390096!

21. Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub]) имеет вид y = kx + b, где k = f'(x[sub]0[/sub]), а b определяется из условия y[sub]0[/sub] = kx[sub]0[/sub] + b. В данном случае x[sub]0[/sub] = 1, y[sub]0[/sub] = 2·1[sup]3[/sup]+2·1[sup]2[/sup]-4·1-1 = -1, f'(x) = 6x[sup]2[/sup]+4x-4, k = f'(1) = 6·1[sup]2[/sup]+4·1-4 = 6, b = y[sub]0[/sub] - kx[sub]0[/sub] = -1-6·1 = -7, то есть уравнение касательной - y = 6x-7, и правильный ответ - 3).

24. Дифференциал функции y = f(x) записывается в виде dy = f'(x)dx. В данном случае f(x) = sin 5x - cos 6x и f'(x) = (sin 5x - cos 6x)' = 5 cos 5x - 6(-sin 6x) = 5 cos 5x + 6 sin 6x, то есть правильный ответ - 1).

25. Необходимыми и достаточными условиями существования минимума непрерывной дифференцируемой функции y = f(x) в точке (x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]) являются f'(x[sub]0[/sub]) = 0, f'[sub]-[/sub](x[sub]0[/sub]) < 0, f'[sub]+[/sub](x[sub]0[/sub]) > 0. В данном случае имеем тольку одну точку, в которой производная равна 0, являясь при этом отрицательной слева и положительной справа (точка x = b не удовлетворяет этому условию, так как неизвестно значение производной справа от неё). Поэтому правильный ответ - 1).

26. Для функции y = f(x) на интервале убывания выполняется условие f'(x) < 0. В данном случае f(x) = x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup]-9x-8, f'(x) = 3x[sup]2[/sup]+6x-9 = 3(x-1)(x+3), f'(x) = 0 при x = -3 и x = 1. Так как f'(0) = -9 < 0, то f'(x) < 0 при -3 < x < 1, то есть на интервале (-3, 1) и правильный ответ - 1).

27. В точке локального максимума функции y = f(x) выполняются условия f' = 0, f" < 0. В данном случае f(x) = cos x - x, f'(x) = -sin x - 1, f"(x) = -cos x, условие -sin x - 1 = 0 на отрезке [-[$960$]/2,[$960$]/2] выполняется только в точке x = -[$960$]/2, но f"(-[$960$]/2) = -cos(-[$960$]/2) = 0, то есть это не точка локального максимума. Следовательно, наибольшее значение функция принимает на одном из концов отрезка. Так как f(-[$960$]/2) = cos(-[$960$]/2)-(-[$960$]/2) = [$960$]/2 и f([$960$]/2) = cos [$960$]/2 - [$960$]/2 = -[$960$]/2, то наибольшее значение функции равно [$960$]/2 и правильный ответ - 1).

28. В точке перегиба функции y = f(x) выполняется условие f" = 0. В данном случае



Очевидно, f" [$8800$] 0 при всех конечных x, то есть функция не имеет точек перегиба, и правильный ответ - 4).