Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 185294
25.01.2012, 12:17
60.00 руб.
0 9 1
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:

Составить каноническое уравнение параболы, если угол между касательными к параболе в точках М1(х0, 2 sqrt(11)) и М2(x0, -2 sqrt(11)) равен arccos (7/15), x0<p/2.

Обсуждение

давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
25.01.2012, 14:38
общий
Здравствуйте, Олег!

Если не ошибаюсь, через две точки плоскости можно провести бесконечное множество парабол. Поэтому, наверное, по умолчанию предполагается, что парабола симметрична относительно оси абсцисс? И что значит условие x0 < p/2? Предполагается, что вершина параболы находится в начале координат?

Откуда Вы взяли эту задачу?
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
25.01.2012, 15:00
общий
Вот методичка https://rfpro.ru/upload/7375.
Задача 3, 22 вариант.
Неизвестный
25.01.2012, 15:01
общий
Адресаты:
Скинул ссылку на методичку.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
25.01.2012, 16:28
общий
это ответ
Здравствуйте, Олег!

Предлагаю Вам следующее решение задачи.

Пусть вершина параболы находится в начале координат. Парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Выполним рисунок.



Находим угол FLM1:
cos [$8736$]FLM1 = [$8730$]((1 + 7/15)/2) = [$8730$](22/30),
[$8736$]FLM1 = arccos [$8730$](22/30).

Согласно свойству касательной к параболе (см. здесь), [$8736$]FM1L = [$8736$]FLM1. Значит, |FM1| = |NM1|/cos [$8736$]FM1L = (2[$8730$]11)/[$8730$](22/30) = 2[$8730$]15. С другой стороны, |FM1| = x0 + p/2. Поэтому x0 + p/2 = 2[$8730$]15, x0 = 2[$8730$]15 - p/2.

Координаты точки M1(x0; 2[$8730$]11) удовлетворяют каноническому уравнению параболы, поэтому
(2[$8730$]11)2 = 2px0 = 2p(2[$8730$]15 - p/2),
44 = 4p[$8730$]15 - p2,
p2 - p[$8730$]240 + 44 = 0,
D = 240 - 4 [$183$] 1 [$183$] 44 = 64, [$8730$]D = 8,
p1 = (4[$8730$]15 - 8)/2 = 2[$8730$]15 - 4 [$8776$] 3,75, (x0)1 = 2[$8730$]15 - (2[$8730$]15 - 4)/2 = [$8730$]15 + 2 [$8776$] 5,87, при этом условие x0 = 5,87 < p/2 = 3,75/2 не выполняется;
p2 = (4[$8730$]15 + 8)/2 = 2([$8730$]15 + 2) = 2[$8730$]15 + 4 [$8776$] 11,75, (x0)2 = 2[$8730$]15 - (2[$8730$]15 + 4)/2 = [$8730$]15 - 2 [$8776] 1,75, при этом условие x0 = 1,87 < p/2 = 11,75/2 выполняется.

Следовательно, p = 2([$8730$]15 + 2), а каноническое уравнение параболы имеет вид y[sup]2[/sup] = 4([$8730$]15 + 2)x.

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
26.01.2012, 10:35
общий
Адресаты:
Никак не могу понять, откуда берется:

С другой стороны, |FM1| = x0 + p/2.
Неизвестный
26.01.2012, 10:46
общий
Адресаты:
Я правильно понимаю, что это равенство выполняется, т.к. FM1 - фокальный радиус?
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
26.01.2012, 11:16
общий

Цитата: 365539
Я правильно понимаю, что это равенство выполняется, т.к. FM1 - фокальный радиус?

Да.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
26.01.2012, 11:20
общий
Адресаты:
(x0)2 = 2√15 - (2√15 + 4)/2 = √15 - 2 ≈ 1.87 < p/2.

и все хорошо получается. В первом решении у Вас было правильно указано каноническое уравнение y2 = 4(√15 + 2)x. Оси параболы вправо.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
26.01.2012, 11:33
общий

Да? И в самом деле. Тогда отлично - я исправлю.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа