Здравствуйте, Евгений!

Из указанных в условии задачи неравенств получим следующие выражения для области определения:
x + y [$8805$] 5, откуда y [$8805$] 5 - x (этому неравенству удовлетворяют точки прямой y = 5 - x и точки, расположенные выше неё);
x - y [$8805$] 5, откуда y [$8804$] x - 5 (этому неравенству удовлетворяют точки прямой y = x - 5 и точки, расположенные ниже неё);
y [$8804$] 5 (этому неравенству удовлетворяют точки прямой y = 5 и точки, расположенные ниже неё).
На рисунке ниже область D определения функции заштрихована вертикально (при этом ось абсцисс "выколота", ведь функция не определена при y = 0).



Находим частные производные первого порядка:
[$8706$]z/[$8706$]x = -1/x²,
[$8706$]z/[$8706$]y = -1/y².

Следовательно, необходимые условия экстремума (равенство нулю частных производных) ни в какой точке не выполняются, и функция не имеет экстремумов. Определяем значения функции в точке пересечения границ области определения:
z(10; 5) = 1/10 + 1/5 = 3/10 = 0,3.

Прямые y = 5 - x и y = x - 5 пересекаются в точке (5; 0), которая не принадлежит области определения функции.

Вдоль прямой y = 5 значения функции изменяются от z = 0,3 до z [$8594$] 1/[$8734$] + 1/5 = 1/5 = 0,2. Вдоль прямой y = 5 - x значения функции изменяются от z [$8594$] +[$8734$] до z = 1/x + 1/(5 - x) = 5/(x(5 - x)) = 5/(5x - x²) [$8801$] 0/(5 - 2x) [$8594$] 0.

Кроме того, для всех значений x из области определения функции при y [$8594$] 0- z [$8594$] -[$8734$], при y [$8594$] 0+ z [$8594$] +[$8734$].

Значит, функция не имеет ни максимумов, ни минимумов.

С уважением.