Здравствуйте, Евгений Онегин!
1) z = [$8730$](x/y), F = x²[$8706$]²z/[$8706$]x² - [$8706$]/[$8706$]y(y²[$8706$]z/[$8706$]y)
[$8706$]z/[$8706$]x = 1/(2[$8730$](xy))
[$8706$]²z/[$8706$]x² = -1/(4x[$8730$](xy))
[$8706$]z/[$8706$]y = - [$8730$]x / (2y[$8730$]y)
y²[$183$][$8706$]z/[$8706$]y = -(1/2) [$8730$](xy)
[$8706$]/[$8706$]y(y²[$8706$]z/[$8706$]y) = -(1/2)[$8730$]x (1/(2[$8730$]y)) = -(1/4)[$8730$](x/y)
F = x²[$183$](-1/(4x[$8730$](xy))) - ( -(1/4)[$8730$](x/y)) [$8801$] 0

2) Построим область D на плоскости Oxy:



Угловые точки: O(0,0), A(4,0), B(4,4), C(0,4)
Граница области D состоит из четырех частей:
l₁: 0 [$8804$] x [$8804$] 4, y = 0
l₂: x = 4, 0 [$8804$] y [$8804$] 4
l₃: 0 [$8804$] x [$8804$] 4, y = 4
l₄: x = 0, 0 [$8804$] y [$8804$] 4

Найдём стационарные точки внутри области D:
z'_x = 0 | 2 - y = 0 | y = 2
z'_y = 0 | 1 - x = 0 | x = 1
M(1, 2) [$8712$] D - стационарная точка

Найдем стационарные точки на границах l₁, l₂, l₃, l₄:
a) l₁: 0 [$8804$] x [$8804$] 4, y = 0 [$8658$] z|_l1 = z|_y=0 = 2x, 0 [$8804$] x [$8804$] 4
Функция линейная, стационарных точек нет, будем рассматривать обе угловые точки (0,0) и (4,0)

б) l₂: x = 4, 0 [$8804$] y [$8804$] 4 [$8658$] z|_l2 = z|_x=4 = 8 - 3y, 0 [$8804$] y [$8804$] 4
Функция линейная, значит будем рассматривать обе угловые точки (4,0) и (4,4)

в) l₃: 0 [$8804$] x [$8804$] 4, y = 4 [$8658$] z|_l3 = z|_y=4 = 4 - 2x, 0 [$8804$] x [$8804$] 4
Функция линейная, значит будем рассматривать обе угловые точки (0,4) и (4,4)

г) l₄: x = 0, 0 [$8804$] y [$8804$] 4 [$8658$] z|_l4 = z|_x=0 = y, 0 [$8804$] y [$8804$] 4
Функция линейная, значит будем рассматривать обе угловые точки (0,0) и (0,4)

Т.о., для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции z посчитаем значения функции
в точке M и в четырех угловых точках O, A, B и C
Z(M) = Z(1,2) = 2[$183$]1 + 2 - 1[$183$]2 = 2
Z(O) = Z(0,0) = 2[$183$]0 + 0 - 0[$183$]0 = 0
Z(A) = Z(4,0) = 2[$183$]4 + 0 - 4[$183$]0 = 8
Z(B) = Z(4,4) = 2[$183$]4 + 4 - 4[$183$]4 = -4
Z(C) = Z(0,4) = 2[$183$]0 + 4 - 0[$183$]4 = 4

Из полученных пяти значений выбираем наибольшее и наименьшее.
min Z = Z(4,4) = -4, max Z = Z(4,0) = 8