Здравствуйте, Artek9300!

1. Так как при n[$8594$][$8734$] имеем sin 1/n ~ 1/n, то

и ряд

расходится, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости (lim a[sub]n[/sub] = 0).

2. Воспользуемся признаком Лейбница достаточного условия сходимости знакочередующегося ряда: если последовательность a[sub]n[/sub] является монотонной и невозрастающей, причём a[sub]n[/sub] [$8594$] 0 при n [$8594$] 0, то ряд [$8721$](-1)[sup]n[/sup]a[sub]n[/sub] сходится. В данном случае для последовательности

рассмотрим соответствующую функцию

Так как

то функция f(x) монотонно убывает [$8704$]x>e[sup]3/4[/sup][$8776$]2.117, а значит и последовательность a[sub]n[/sub] при n>2 является монотонно убывающей (a[sub]n+1[/sub] < a[sub]n[/sub]), причём

Следовательно, исходный ряд

сходится (по признаку Лейбница).