Здравствуйте, Посетитель - 381396!

Первая и вторая поверхности представляют собой сферы с центром в начале координат и радиусом 1 и 2 соответственно. Третья поверхность - конус, направленный вдоль оси Oz с центром в точке z = -1. Тело, объём которого необходимо найти - часть шарового слоя, ограниченная поверхностью конуса. При переходе к сферическим координатам получается достаточно громоздкое выражение для поверхности конуса (поскольку её центр не совпадает с началом координат). Удобнее перейти к цилиндрическим координатам и рассмотреть отдельно два шаровых сегмента, ограниченных снизу поверхностью конуса, а сверху - поверхностями сфер. Тогда искомый объём будет равен разности объёмов этих двух сегментов.

Переход к цилиндрическим координатам производится по формулам x = r cos [$966$], y = r sin [$966$], z = z, dx dy dz = r d[$966$] dr dz. Уравнения поверхностей примут вид: r[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]=1, r[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]=4, z+1=[$177$]r.

Меньший сегмент будет ограничен поверхностями r[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]=1 и z+1=[$177$]r. Найдём линию пересечения поверхностей. Из второго уравнения r[sup]2[/sup]=(z+1)[sup]2[/sup], подставляя в первое уравнение, получаем (z+1)[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]=1 или 2z[sup]2[/sup]+2z=0. Уравнение имеет два решения: z = -1 и z = 0. Им соответствуют значения r = 0 и r = 1. Пересечение поверхностей происходит при r = 1. Таким образом, границы сегмента задаются условиями 0 [$8804$] [$966$] [$8804$] 2[$960$], 0 [$8804$] r [$8804$] 1, r-1 [$8804$] z [$8804$] [$8730$]1-r[sup]2[/sup], а его объём будет равен


Больший сегмент будет ограничен поверхностями r[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]=4 и z+1=[$177$]r. Найдём линию пересечения поверхностей. Из второго уравнения r[sup]2[/sup]=(z+1)[sup]2[/sup], подставляя в первое уравнение, получаем (z+1)[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]=4 или 2z[sup]2[/sup]+2z-3=0. Уравнение имеет два решения: z = (-1-[$8730$]7)/2 и z = (-1+[$8730$]7)/2. Им соответствуют значения r = ([$8730$]7-1)/2 и r = ([$8730$]7+1)/2. Первое решение соответствует пересечению сферы с нижней половиной конуса, второе - с верхней половиной. Нашему случаю удовлетворяет второе решение. Таким образом, границы сегмента задаются условиями 0 [$8804$] [$966$] [$8804$] 2[$960$], 0 [$8804$] r [$8804$] ([$8730$]7+1)/2, r-1 [$8804$] z [$8804$] [$8730$]4-r[sup]2[/sup], а его объём будет равен



Искомый объём тела будет равен разности