Здравствуйте, Александр Сергеевич!
6) Коэффициенты степенного ряда
c_n=1/(([$8730$]n)3ⁿ)
Радиус сходимости
R=lim|c_n|/|c_n+1|=lim([$8730$](n+1)3ⁿ⁺¹)/([$8730$]n)3ⁿ=3
Интервал сходимости (-R;R)=(-3;3)
Поведение на концах интервала:
а) x=-3, получаем ряд с общим членом (-1)ⁿ/[$8730$]n.
Это знакочередующийся ряд с модулями общего члена (1/[$8730$]n) монотонно убывающими к нулю.
По признаку Лейбница ряд сходится.
б) x=3, получаем ряд с общим членом 1/[$8730$]n.
Это ряд степенного типа 1/n^[$945$]. Известно, что при [$945$]>1 ряд сходится,
а при [$945$][$8804$]1 ряд расходится. В нашем случае [$945$]=1/2<1 ---> ряд расходится.

Ответ: интервал сходимости (-3;3). При x=-3 ряд сходится, при x=3 ряд расходится.

Здравствуйте, Александр Сергеевич!
5) Посчитаем члены ряда для n=0, 1, ...
Будем находить до тех пор, пока модуль очередного члена не будет меньше [$949$]
n = 0, x₀ = 1/(1*1) = 1
n = 1, x₁ = -1/(3*2) = -1/6
n = 2, x₂ = 1/(9*3) = 1/27
n = 3, x₃ = -1/(27*4) = -1/108
n = 4, x₄ = 1/(81*5) = 1/405
n = 5, x₅ = -1/(243*6) = -1/1058, |-1/1058| < [$949$]
[$8721$] [$8776$] x₀ + x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ [$8776$] 0.8626
N=6

Здравствуйте, Александр Сергеевич!
10.

Решение можно скачать по ссылке.
скачать
Будут вопросы обращайтесь в минифорум.
Удачи

Здравствуйте, Александр Сергеевич!

Рассмотрим задание 8.

Находим члены разложения:
f(x) = cos² x, f(0) = cos² 0 = 1;
f'(x) = -2 [$183$] cos x [$183$] sin x = -sin 2x, f'(0) = -sin 0 = 0;
f"(x) = -2 [$183$] cos 2x, f"(0) = -2 [$183$] cos 0 = -2;
f'''(x) = 4 [$183$] sin 2x, f'''(0) = 4 [$183$] sin 0 = 0;
f^IV(x) = 8 [$183$] cos 2x, f^IV(0) = 8 [$183$] cos 0 = 8;
f^V(x) = -16 [$183$] sin 2x, f^V(0) = -16 [$183$] sin 0 = 0;
f^VI(x) = -32 [$183$] cos 2x, f^VI(0) = -32 [$183$] cos 0 = -32;
...

При четырёх членах разложения в ряд в окрестности точки x₀ = 0 получаем
cos² x [$8776$] 1 - 2x²/2! + 8x⁴/4! - 32x⁶/6! = 1 - x² + x⁴/3 - 2x⁶/45,
что при x = x₁ = 1 даёт
f(1) = cos² 1 [$8776$] 1 - 1 + 1/3 - 2/45 = 13/45.

Для нахождения интервала сходимости разложения запишем его в общем виде:
cos² x = 1 + [$8721$]_{n = 1}^[$8734$](-1)ⁿ(2^{2n - 1}x²ⁿ/(2n)!)
и выразим коэффициент при общем члене:
a_n = (-1)ⁿ(2^{2n - 1}/(2n)!).

Тогда при n [$8594$] [$8734$] |a_n/a_{n + 1}| = |(2^{2n - 1}/(2n)!) : (2²ⁿ/(2(n + 1)!)| = 1/2 [$183$] (2n + 1) [$183$] 2(n + 1) = (n + 1)(2n + 1) [$8594$] [$8734$], следовательно, радиус сходимости разложения R = [$8734$], а интервал сходимости - |x| < [$8734$].

Погрешность [$945$], допускаемая при вычислении, меньше абсолютной величины пятого члена разложения, т. е. [$945$] < 2⁷/8! = 128/40320 = 1/315.

С уважением.

Здравствуйте, Александр Сергеевич!