Здравствуйте, G-buck!

Указанными поверхностями вырезается эллиптический параболоид с параметрами a = b = 1 и p = 1/2 с вершиной в начале координат.

Пересечём параболоид плоскостью Oxz. Рассматриваемую поверхность можно представить как результат вращения вокруг оси аппликат на угол 2п следующих отрезков:
- AB, где A(0; 0; 4), B(2; 0; 4);
- BC, где C(3; 0; 9);
- CD, где D(0; 0; 9).

На отрезке AB z = 4, x = t, 0 [$8804$] t [$8804$] 2, x'_t = 1, z'_t = 0;
на отрезке BC z = x², x = t, 2 [$8804$] t [$8804$] 3, x'_t = 1, z'_t = 2t;
на отрезке CD z = 9, x = t, 0 [$8804$] t [$8804$] 3, x'_t = 1, z'_t = 0.

Обозначим через S_AB, S_BC, S_CD площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси аппликат отрезков AB, BC, CD соответственно. Тогда
S_AB = 2п₀[$8747$]² t[$8730$](1² + 0²)dt = пt²|₀² = 4п;
S_BC = 2п₂[$8747$]³ t²[$8730$](1² + (2t)²)dt =
= 2п₂[$8747$]³ t²[$8730$](1 + 4t²)dt =
= 2п(t[$8730$](1 + 4t²)/16|₂³ - 1/16 [$183$] ₂[$8747$]³ [$8730$](1 + 4t²)dt) =
= п/8 [$183$] (t[$8730$](1 + 4t²) - t[$8730$](1 + 4t²)/2 - 1/4 [$183$] ln |2t + [$8730$](1 + 4t²)|)|₂³ =
= п/8 [$183$] (t[$8730$](1 + 4t²)/2 - 1/4 [$183$] ln |2t + [$8730$](1 + 4t²)|)|₂³ =
= п/8 [$183$] ((3[$8730$]37/2 - 1/4 [$183$] ln (6 + [$8730$]37)) - ([$8730$]17 - 1/4 [$183$] ln (4 + [$8730$]17)));
S_CD = 2п₀[$8747$]³ t[$8730$](1² + 0²)dt = пt²|₀³ = 9п;
S = S_AB + S_BC + S_CD.

При нахождении S_BC приходится использовать таблицу интегралов.

После суммирования получаем искомое.

С уважением.

Здравствуйте, G-buck!
Решение в прикрепленном файле.