Здравствуйте, lasan!

Здравствуйте, lasan!
Радиус сходимости степнного ряда находится по формуле
R=lim|c_n/c_n+1|
где c_n=(n+1)/2ⁿ - коэффициенты степенного ряда.
Вычисляя предел, находим
R=lim(n+1)2ⁿ⁺¹/[(n+2)2ⁿ]=2
Это означает, что при |x|<2 ряд сходится, а при |x|>2 ряд расходится.

Остается исследовать сходимость в точках x=[$177$]2. В этих точках модуль общего члена,
равный n+1 , не стремится к нулю. Не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится.

Ответ: область сходимости - интервал (-2;2)

Здравствуйте, lasan!

Рассмотрим первое задание. Здесь a_n = (n + 1)/2ⁿ, a_{n + 1} = (n + 2)/2^{n + 1}. Найдём радиус сходимости ряда:
при n [$8594$] [$8734$]
|a_n/a_{n + 1}| = (n + 1)/2ⁿ : (n + 2)/2^{n + 1} = 2(n + 1)/(n + 2) = (2n + 2)/(n + 2) = (2 + 2/n)/(1 + 2/n) [$8594$] 2,
поэтому радиус сходимости ряда R = 2, и ряд сходится для значений x, удовлетворяющих неравенству -2 < x < 2.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если x = 2, то получаем ряд 1 + 2 + 3 + ..., который, очевидно, расходится ввиду монотонного возрастания его членов. При x = -2 получаем знакопеременный ряд 1 - 2 + 3 - 4 + ..., абсолютные величины членов которого монотонно возрастают; поэтому он расходится.

Следовательно, интервал сходимости ряда ]-2; 2[.

Ответ: Ряд сходится на интервале ]-2; 2[.

С уважением.