Здравствуйте, Иванов Евгений Витальевич!
1) Определим число нулей F(z) в круге |z|[$8804$]1. Пусть f(z)=-17z², g(z)=2z⁴+4z³+3z-7. На границе круга |z|=1 имеем
|f(z)|=17|z|²=17
|g(z)|[$8804$]2|z|⁴+4|z|³+3|z|+7=2+4+3+7=16
Таким образом, |g(z)|<|f(z)|. По теореме Руше функции f(z) и f(z)+g(z)=F(z) имеют в круге |z|<1 одинаковое число нулей. Так как число нулей f(z) равно 2 (с учетом кратности), то число нулей F(z) также равно 2. Так как на границе круга
|g(z)|<|f(z)|, то F(z)=f(z)+g(z) не обращается в нуль. Следовательно, число нулей F(z) в круге |z|[$8804$]1 также равно 2.

2) 1) Определим число нулей F(z) в круге |z|<5. Пусть f(z)=2z⁴, g(z)=4z³-17z²+3z-7. На границе круга |z|=5 имеем
|f(z)|=2|z|⁴=1250
|g(z)|[$8804$]4|z|³+17|z|²+3|z|+7=500+425+15+7=947
Таким образом, |g(z)|<|f(z)|. По теореме Руше функции f(z) и f(z)+g(z)=F(z) имеют в круге |z|<5 одинаковое число нулей. Так как число нулей f(z) равно 4 (с учетом кратности), то число нулей F(z) также равно 4.

3) Число нулей в области 1<|z|<5 равно числу нулей в области |z|<5 за вычетом числа нулей в области |z|[$8804$]1, т.е. 4-2=2.

Ответ: 2