Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!

Возрастание функции определяется знаком ее производной. Производная кубической функции равна
, то есть является квадратичной функцией (значение с не имеет значения). Решим неравенство

Дискриминант квадратного трехчлена равен . При отрицательных значениях дискриминанта квадратный трехчлен всегда больше 0 и функция монотонно возрастает.

Если дискриминант равен нулю, производная обращается в 0 в одной точке, и кубическая функция имеет точку перегиба, но все равно возрастает.
1.2 Зафиксируем коэффициент a. Увеличивая коэффициент b, при b>a^2/3 дискриминант всегда можно сделать отрицательным.
2.1 Если же дискриминант положительный , то производная будет иметь 2 корня, в промежутке между ними являясь меньше нуля, то есть функция будет иметь максимум в первой точке, и минимум во второй.
Произведение корней трехчлена равно b/3, чтобы они на ходились по разные стороны от начала координат, необходимо, чтобы b<0.
2.2 Если а=0, производная равна , при отрицательных значениях b экстремум существует в точках , значения функции в точках экстремума равны , их произведение равно

3.1 Пусть уравнение f(x)=0 имеет 3 различных действительных корня. Эти корни разбивают числовую ось на 4 интервала.
(-[$8734$];x0), (x0;x3), (x3;x4) (x4;+[$8734$]), на которых знак функции меняется. Пусть для определенности это будет -,+,-,
+.
На отрезке (x0;x3) функция положительна и равна 0 на его концах. Следовательно, где-то на этом интервале находится локальный максимум функции x1, f(x1)>0. На следующем отрезке функция отрицательна, на нем находится минимум x2, f(x2)<0 и f(x1)f(x2)<0.
Обратное доказательство: Пусть f(x1)f(x2)<0, по теореме Больцано — Коши существует корень функции на отрезке (x1;x2).
В этом задании, по-моему, забыли об условии стремления к плюс или минус бесконечности при х[$8594$][$8734$].
Если f(x1)>0, f(x2)<0 и x1 - максимум, имеется еще один корень на отрезке (-[$8734$];x1), а x2 - минимум и третий корень находится на (x2;+[$8734$])
Если f(x1)<0, f(x2)>0 и x1 - минимум, имеется еще один корень на отрезке (-[$8734$];x1), а x2 - максимум и третий корень находится на (x2;+[$8734$])
3.2
Как следствие из 2.2 и 3.1, необходимым и достаточным условием того, чтобы функция вида имела 3 корня, является условие, что произведение значений в точках экстремума D= , умножая на 27, получим

3.3
Кубическая функция может иметь 3 или 1 корень. Если бы она имела 2 корня, то меняла знак два раза, а на минус бесконечности и плюс бесконечности она имеет разные знаки, то есть меняет знак нечетное число раз. Как следствие из 3.1 и 3.2, она имеет 1 корень, если не имеет 3 корней, то есть условие не выполняется и

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то f''(x0)=0.
4.1 Второй производной кубической функции будет , которая обращается в 0 в одной точке -a/3. Следовательно, более одной точки перегиба кубическая функция иметь не может.

4.3 Запишем уравнение y=kx в виде . У него есть корень 0.
Чтобы найти другие, ищем решение уравнения
D=a^2-4(b-k)>0
k>b-a^2/4
При этом условии прямая пересекает график еще в 2 точках.
При D=0 прямая касается графика в одной точке -a/2.

Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!
Дополнения к предыдущему ответу:

1.2 Если мы фиксируем b, то при b<0 дискриминант всегда положителен и сделать функцию монотонной за счет изменения a и c нельзя.

2.1 Свободный член квадратного уравнения для определния точек экстремума равен b. По теореме Виеты он равен произведению корней, деленному на 3. Поэтому условие того, что точки экстремума лежат по разные стороны от начала координат: b<0 (дискриминант уравнения при этом всегда положителен).

4.1 y''=6x+2a меняет свой знак ровно в одной точке x=-a/3. Отсюда следует, что -a/3 и есть единственная точка перегиба.

4.2 y(-a/3)=2a³/27-ab/3+c
делаем перенос в эту точку, т.е. заменяем x на x-a/3, а y на y+2a³/27-ab/3+c:
y+2a³/27-ab/3+c=(x-a/3)³+a(x-a/3)²+b(x-a/3)+c
y+2a³/27-ab/3+c=(x³-ax²+a²x/9-a³/27)+(ax²-2a²x/3+a³/9)+(bx-ab/3)+c
y=x³+(a²/9-2a²/3+b)x
т.е. y=x³+px, где p=a²/9-2a²/3+b=b-5a²/9

4.3 Решаем уравнение x³+ax²+bx=kx:
x(x²+ax+b-k)=0

x=0
x²+ax+b-k=0

Дискриминант второго уравнения D=a²-4b+4k
1) k<b-a²/4
D<0 квадратное уравнение решений не имеет

исходное уравнение имеет только одно решение x=0

2) k=b-a²/4
D=0 квадратое уравнение имеет одно решение x=-a/2

при a=0 исходное уравнение имеет одно решение x=0
при a[$8800$]0 исходное уравнение имеет два решения x=0 и x=-a/2

3) k>b-a²/4
D>0 квадратое уравнение имеет два разных решения. По теореме Виета произведение этих решений равно b-k

при k=b произведение решений равно нулю ---> один из корней равен нулю (второй корень x=-a нулю не равен так как корни разные)
при k[$8800$]b произведение корней не равно нулю ---> оба корня квадратного уравнения отличны от нуля.

при k=b исходное уравнение имеет два решения x=0 и x=-a
при k[$8800$]b исходное уравнение имеет три решения