Здравствуйте, Ольга Никанова!

2. Функция

определена при

Этому условию удовлетворяют точки, расположенные на прямых y = x - 1 и y = x + 1 и между ними.

На множестве действительных чисел выражение

определено при значениях переменных x и y, имеющих один знак, то есть при x [$8805$] 0, y [$8805$] 0 (первая четверть координатной плоскости Oxy) и x [$8804$] 0, y [$8804$] 0 (третья четверть коодинатной плоскости), а выражение

находится в знаменателе выражения для функции и поэтому функция не определена при x = y = 0 (начало координат). Следовательно, областью определения функции

является объединение первой и третьей четвертей координатной плоскости Oxy, исключая начало координат.

С уважением.

Здравствуйте, Ольга Никанова!
2) Область определения функции z=arcsin(x-y) есть множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенству -1[$8804$]x-y[$8804$]1 или x-1[$8804$]y[$8804$]1+x.
Получаем множество точек (x;y), находящихся между прямыми y=x-1 и y=x+1 вместе с точками, принадлежащие прямым (рис.1)
Область определения функции z=[$8730$](xy)/(x²+y²) есть множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенству xy[$8805$]0 и кроме точки (0;0) -
в точке знаменатель обращается в ноль. Решением неравенства является множество точек лежащих как показано на рисунке 2

Рисунок 2 неверен. В мини-форуме автор ответа, исправляя ошибку, сообщает

Конечно никакой гиперболы, а только точки I и III четверти.

3) В данном случае F(x,y,z)=x²+y²+z²-xy-2, поэтому
F'_x=2x-y, F'_y=2y-x, F'_z=2z
Следовательно, z'_x=-F'_x/F'_z=-(2x-y)/(2z), z'_y=-F'_y/F'_z=-(2y-x)/(2z). Вычисляем значения частных производных в точке М₀(-1;0;1), получим
z'_x(-1,0,1)=-(2*(-1)-0)/(2*1)=1, z'_y(-1,0,1)=-(2*0+1)/(2*1)=-0.5

Здравствуйте, Ольга Никанова!
5) Вычисляем первые производные
z_x=3x²-6y
z_y=24y²-6x

Находим стационарные точки, приравнивая производные к нулю
x²=2y
4y²=x
Подставляя x из второго уравнения в первое, получим 16y²=2y ----> y=0 (x=0); y=1/2 (x=1)
Таким образом, имеем две стационарные точки: A(0;0) и B(1;1/2).

Исследуем стационарные точки на экстремум. Находим вторые производные
z_xx=6x
z_xy=-6
z_yy=48y

a) A(0;0)
z_xx*z_yy-z_xy²=-36<0
Это условие является достаточным для отсутствия экстемума.

б) B(1;1/2)
z_xx=6>0
z_xx*z_yy-z_xy²=108>0
Это условие является достаточным наличия минимума.

Ответ: x=1;y=1/2 - точка минимума, минимум z=4.

Здравствуйте, Ольга Никанова!
Предлагаю решение 4 задачи.

Желательно все перепроверить.
Будут вопросы обращайтесь в минифорум.
Удачи

Здравствуйте, Ольга Никанова!

1. Сделаем замену переменной: t = 1/(x+1), x = 1/t - 1, dx = -dt/t[sup]2[/sup]. Тогда

Исходная функция и полученная первообразная определены только при |x|>1. С учётом этого результат можно записать в виде

где |x|>1.

6. Если поверхность S задана уравнением вида F(x,y,z) = 0, то уравнение нормали в точке M[sub]0[/sub](x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub],z[sub]0[/sub]) будет иметь вид:



где направляющий вектор прямой совпадает с градиентом функции F в точке M[sub]0[/sub], то есть



В данном случае имеем для первой поверхности





Для второй поверхности: