Здравствуйте, Марина!
Из условий задачи следует, что если назвать "успехом" удачное проведение сложного опыта в лаборатории, то вероятность p такого события равна p=0,78, а "неуспех" происходит в вероятностью q=1-p=0,22.
Итак, мы имеем испытания Бернулли и дано, что вероятность того, что при проведении n испытаний (их число и нужно найти) число успехов m будет больше 150 равна 0,9. По формуле Бернулли

Здесь (для больших n) затруднительно применять формулу Бернулли. Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа.

где Ф(x) - стандартная нормальная функция распределения. По таблице находим

Отсюда находим n (m=150, p=0,78, q=0,22). Для нахождения n получим уравнение
0,608 n[sup]2[/sup]-234,281 n+22500=0.
Решая это квадратное уравнение, получим два корня: n[sub]1[/sub]=182,019; n[sub]2[/sub]=203,296. Ответ: n>183.

Здравствуйте, Марина!

Для решения задачи воспользуемся интегральной теоремой Лапласа.



В нашем случае p = 0,78; q = 1 - 0,78 = 0,22; k₁ = 150; k₂ = n; P(150; n) = 0,9. Требуется найти n. Имеем
0,9 = Ф[(n - 0,78n)/[$8730$](n [$149$] 0,78 [$149$] 0,22)] - Ф[(150 - 0,78n)/[$8730$](n [$149$] 0,78 [$149$] 0,22)],
0,9 = Ф[0,22n/(0,4142[$8730$]n)] - Ф[(150 - 0,78n)/(0,4142[$8730$]n)],
0,9 = Ф[0,531[$8730$]n] - Ф[(150 - 0,78n)/(0,4142[$8730$]n)].

Понятно, что искомое число опытов n > 150. Поэтому 0,531[$8730$]n > 0,531 [$149$] [$8730$]150 [$8776$] 6,50; Ф(6,5) [$8776$] 0,5, а функция Лапласа является возрастающей. Тогда
0,9 = 0,5 - Ф[(150 - 0,78n)/(0,4142[$8730$]n)],
Ф[(150 - 0,78n)/(0,4142[$8730$]n)] = -0,4.

По таблице значений функции Лапласа и с учётом того, что эта функция нечётная, находим
(150 - 0,78n)/(0,4142[$8730$]n) = -1,28.

Рассматривая полученное выражение как уравнение относительно переменной [$8730$]n и решая его относительно этой переменной, получаем
0,78([$8730$]n)² - 0,53[$8730$]n - 150 = 0,
D = (-0,53)² - 4 [$149$] 0,78 [$149$] (-150) [$8776$] 468,3; [$8730$]D [$8776$] 21,6;
([$8730$]n)₁ = (0,53 + 21,6)/(2 [$149$] 0,78) [$8776$] 14,2; n₁ = (14,2)² [$8776$] 202;
([$8730$]n)₂ = (0,53 - 21,6)/(2 [$149$] 0,78) [$8776$] -13,5; n₂ = (-13,5)² [$8776$] 182.

Таким образом, заданному значению вероятности P(150; n) = 0,9 соответствуют два значения потребного количества опытов: n = 182 и n = 202.

С уважением.