Здравствуйте, Aleksandrkib!
Решение:

1. Второе нер-во задает область, границей которого является окружность с центром в точке O=(a;2a) и радиусом r=[$8730$](2+a). Заметим, что 2+a[$8805$]0 [$8658$] a[$8805$]-2, иначе система не будет иметь решения вообще.
2. Первое нер-во:
|x+2y+1|[$8804$]11 [$8658$] -11[$8804$]x+2y+1[$8804$]11 [$8658$] -12[$8804$]x+2y[$8804$]10
{y[$8805$]-12x-6 y[$8805$]-12x+5
Эти неравенства задают область в виде полосы, границами которой являются две прямые y=-12x-6 и y=-12x+5.
Рисунок:


3. Исходная система неравенств имеет единственное решение [$8660$] две области пересекаются лишь в одной точке. Это возможно [$8660$] окружность и границы полосы касаются, при этом окружность касается полосы снизу и сверху (каждый раз с внешней стороны).
Геометрически говоря, выписываем необходимые условия:
r=OA₁ или r=OA₂, где A_1,2 - расстояния от точки O до наших прямых x+2y+12=0 и x+2y-10=0.
a. r=OA₁.
OA₁=|1[$149$]a+2[$149$]2a+12|/[$8730$](1+4)=|5a+12|/[$8730$]5=(5a+12)/[$8730$]5,
т.к. a[$8805$]-2 [$8658$] |5a+12|=5a+12.
Получили уравнение [$8730$](2+a)=(5a+12)/[$8730$]5 [$8658$] (5a+12)² = 5a+10 - корней нет.
b. r=OA₂.
OA₂=|5a-10|/[$8730$]5,
[$8730$](2+a)=(5a-10)/[$8730$]5 [$8658$] 25a²-105a+90=0
a=6/5 и a=3.

Теперь проверим полученные значения a на достаточность.
Достаточным условием является нахождение точки O(a;2a) над второй прямой x+2y-10=0.
Т.е. y>-12x+5.
Проверка: a=3 [$8658$] O(3;6),6>-12[$149$]3+5 - верно,
a=6/5 отбрасываем, т.к. |6/5 + 12/5 + 1| < 11, т.е. окружность будет внутри полосы

4. Случай a=-2 надо рассмотреть отдельно, т.к. в этом случае окружности не будет.
a=-2 [$8658$] (x+2)²+(y+4)²=0 [$8658$] x=-2,y=-4,
подставим в первое не-во:
|x+2y+1|=|-2-8+1|=9<11 - верно.

Ответ: a=3, a=-2.

Здравствуйте, Aleksandrkib!
Первое уравнение задаёт полосу, ограниченную прямыми x + 2y + 1 = 11 и x + 2y + 1 = -11.
Второе задаёт окружность с центром в точке (a, 2a) и радиусом [$8730$](a + 2).

Система будет иметь одно решение, когда окружность лежит выше или ниже полосы и касается ближайшей прямой.
Центр окружности лежит на прямой y = 2x. Точки пересечения окружности и прямых обозначим A₁ и A₂.
Их координаты (2, 4) и (-12/5, -24/5) соответственно.
Теперь можно записать уравнение расстояния от центра окружности до точки пересечения с прямой:
для O₁A₁: (a - 2)² + (2a - 4)² = 2 + a, a = 3 или a = 6/5
для O₂A₂: (a + 12/5)² + (2a + 24/5)² = 2 + a, решений нет
Проверяем ограничения: a > 2 (окружность выше полосы) или -2 < a < -12/5 (окружность ниже полосы)
Решение a = 6/5 отбрасываем, так как 0 < a < 2 и центр окружности лежит внутри полосы.
Ответ: a = 3.