Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич!
1. Градиент находим как вектор частных производных:
Производная по направлению вектора
e равна
где
орт направления.
[table]
[row][col]
Вариант 7
[/col][col]
Вариант 25
[/col][col]
Вариант 26
[/col][/row][row][col]
[/col][col]
[/col][col]
[/col][/row][/table]
2. Направление наибольшего возрастания функции задается вектором градиента, а его величина - модулем этого вектора.
[table]
[row][col]
Вариант 7
[/col][col]
Вариант 25
[/col][col]
Вариант 26
[/col][/row][row][col]
[/col][col]
[/col][col]
[/col][/row][/table]
4. Уравнение плоскости
(p) позволяет задать поверхность
S уравнением вида
z = z(x,y). В этом случае поверхностный интеграл первого рода сводится к двойному по следующей формуле:
где
D - проекция поверхности
S на плоскость
Oxy.
[table]
[row][col]
Вариант[/col][col]
Решение
[/col][/row]
[row][col]
7
[/col][col]
z(x,y) = 1-y-x/2,
z'[sub]x[/sub] = -1/2,
z'[sub]y[/sub] = -1,
D: {x=0; y=0; x+2y=2},
f(x,y) = 2x+15y+(1-y-x/2) = 1.5x+14y+1,
[/col][/row]
[row][col]
25
[/col][col]
z(x,y) = x-y/2+1,
z'[sub]x[/sub] = 1,
z'[sub]y[/sub] = -1/2,
D: {x=0; y=0; y-2x=2},
f(x,y) = 3y-2x-2(x-y/2+1) = 4y-4x-2,
[/col][/row]
[row][col]
26
[/col][col]
z(x,y) = 1-x-y/2,
z'[sub]x[/sub] = -1,
z'[sub]y[/sub] = -1/2,
D: {x=0; y=0; 2x+y=2},
f(x,y) = 3x-2y+6(1-x-y/2) = -3x-5y+6,
[/col][/row][/table]
5. Поток векторного поля
a через поверхность
S определяется следующим выражением:
где
n - единичный вектор нормали к поверхности. Аналогично предыдущей задаче, этот интеграл сводится к двойному по проекции
D поверхности
S на плоскость
Oxy.
[table]
[row][col]
Вариант[/col][col]
Решение
[/col][/row]
[row][col]
7
[/col][col]
f(x,y,z) = (2x, 5y, 5z)·(2/7, 6/7, 3/7) = (4x+30y+15z)/7,
z = 2-2y-2x/3,
z'[sub]x[/sub] = -2/3,
z'[sub]y[/sub] = -2,
D: {x=0; y=0; x+3y=3},
f(x,y) = (4x+30y+15(2-2y-2x/3))/7 = (30-6x)/7,
[/col][/row]
[row][col]
25
[/col][col]
f(x,y,z) = (x, y, z)·(4/[$8730$]21, 1/[$8730$]21, 2/[$8730$]21) = (4x+y+2z)/[$8730$]21,
z = 1-2x-y/2,
z'[sub]x[/sub] = -2,
z'[sub]y[/sub] = -1/2,
D: {x=0; y=0; 4x+y=2},
f(x,y) = (4x+y+2(1-2x-y/2))/[$8730$]21 = 2/[$8730$]21,
[/col][/row]
[row][col]
26
[/col][col]
f(x,y,z) = (x, y, z)·(6/7, 3/7, 2/7) = (6x+3y+2z)/7,
z = 3-3x-3y/2,
z'[sub]x[/sub] = -3,
z'[sub]y[/sub] = -3/2,
D: {x=0; y=0; 2x+y=2},
f(x,y) = (6x+3y+2(3-3x-3y/2))/7 = 6/7,
[/col][/row][/table]
8. Циркуляция векторного поля
a по контуру
[$955$] равна линейному интегралу
В данном случае контур
[$955$] состоит из трех отрезков, соединяющих точки
A(D/A, 0, 0),
B(0, D/B, 0) и
C(0, 0, D/C). Следовательно, циркуляцию можно записать в виде:
Так как
dx = 0 на отрезке
BC,
dy = 0 на
CA и
dz = 0 на
AB, то остальные три интеграла равны 0.
По формуле Стокса циркуляция векторного поля
a по контуру, ограничивающему область
[$963$], равна
где
а
D[sub]xy[/sub],
D[sub]yz[/sub],
D[sub]zx[/sub] - проекции области
[$963$] на координатные плоскости (треугольники, ограниченные осями координат и отрезками
AB,
BC,
CA соответственно).
[table]
[row][col]
Вариант[/col][col]
Решение
[/col][/row]
[row][col]
7
[/col][col]
a[sub]x[/sub] = x+y,
a[sub]y[/sub] = y+z,
a[sub]z[/sub] = 2x+2z,
A(2,0,0),
B(0,-3,0),
C(0,0,3),
AB: {3x-2y=6; z=0},
BC: {-2y+2z=6; x=0},
CA: {3x+2z=6; y=0}[/col][/row]
[row][col]
25
[/col][col]
a[sub]x[/sub] = 3x,
a[sub]y[/sub] = y+z,
a[sub]z[/sub] = x-z,
A(3,0,0),
B(0,1,0),
C(0,0,3),
AB: {x+3y=3; z=0},
BC: {3y+z=3; x=0},
CA: {x+z=3; y=0}[/col][/row]
[row][col]
26
[/col][col]
a[sub]x[/sub] = x+y-z,
a[sub]y[/sub] = -2y,
a[sub]z[/sub] = x+2z,
A(2,0,0),
B(0,1,0),
C(0,0,2),
AB: {x+2y=2; z=0},
BC: {2y+z=2; x=0},
CA: {x+z=2; y=0}.
[/col][/row][/table]
10. Векторное поле
a называется
соленоидальным, если его поток через любую замкнутую поверхность
S равен 0:
Это условие равносильно тому, что
Векторное поле
a называется
потенциальным, если
где
u - потенциал поля. Необходимым условием потенциальности векторного поля является равенство нулю его ротора:
Оно, однако, не является достаточным (например, для многосвязной области).
Векторное поле
a называется
гармоническим, если оно является одновременно соленоидальным и потенциальным.
[table]
[row][col]
Вариант[/col][col]
Решение
[/col][/row]
[row][col]
7
[/col][col]
Поле не является ни соленоидальным, ни потенциальным (следовательно, не является и гармоническим).
[/col][/row]
[row][col]
25
[/col][col]
Поле не является ни соленоидальным, ни потенциальным (следовательно, не является и гармоническим).
[/col][/row]
[row][col]
26
[/col][col]
Кроме того, область определения поля не является односвязной (поле не определено на
Oxy,
Oxz и
Oyz).
Поле не является ни соленоидальным, ни потенциальным (следовательно, не является и гармоническим).
[/col][/row][/table]