Здравствйуте еще раз!
Для меня все еще остается загадкой как определяется та точка, которая все время куда то стремится, и как вы определяете куда она стремится в + бесконечность или - бесконечнось.
Спасибо.

в вашем случае про бесконечность речи не ведется.
Функция 1/(x*lnx) в точке x=1 не существует, так как ln обращается в 0, вот мы и исследуем поведение функции в окрестности этой точки

Под интегралом в знаменателе (под корнем) стоит функция ln x. Эта функция обращается в ноль при x=1. При x>1 ln x положителен и все в порядке (под корнем квадратным должно быть неотрицательное число). Поэтому (представьте: имеется дробь, числитель которой - число, а знаменатель, изменяясь, становится все меньше и меньше - стремится к нулю; дробь должна неограниченно расти - стремиться к бесконечности) мы добавляем к 1 малую положительную величину (она стремится к +0, т.е. остается положительной), чтобы подинтегральная функция на новом отрезке интегрирования [1+epsilon, e] не обращалась в бесконечность. После вычисления интеграла, мы находим предел, когда epsilon -> 0. Если этот предел конечен (как в нашем случае), то он и принимается за величину несобственного интеграла и говорится, что интеграл сходится (к данной величине). Если этот предел или бесконечен, или не существует, то говорят, что интеграл расходится. Никакого значения ему приписать нельзя.
Так по определению вычисляется данный несобственный интеграл.
С уважением

Огромное Спасибо за разъяснения!